7. Integroinnin sovelluksia
7.9 1-kertaluvun differentiaaliyhtälöt
7.9.2 Separoituva differentiaaliyhtälö
1. kertaluvun
separoituva differentiaaliyhtälö on muotoa (kirja s.~447)
$$
y'=f(x)g(y).
$$
Se ratkaistaan kirjoittamalla \(y'=dy/dx\), jolloin
$$
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Longleftrightarrow \frac{dy}{g(y)}\stackrel{\textrm{separointi}}{=}f(x)dx.
$$
Tämä yhtälö voidaan integroida puolittain
$$
\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx.
$$
Vastaus sievenee, mikäli \(1/g(y)\) ja \(f(x)\) osataan integroida analyyttisesti.
Esimerkki. Ratkaise
$$
y'=\frac{x}{y}
$$
Ratkaisu. Separoidaan
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}
$$
muotoon
$$
ydy=xdx,
$$
josta integroimalla puolittain saadaan
$$
\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C_1,
$$
eli
$$
y^2-x^2=C,
$$
missä \(C=2C_1\)
Esimerkki. Ratkaise alkuarvo-ongelma
$$
y'=x^2y^3,\quad y(1)=3.
$$
Ratkaisu. Huomataan, että \(y=0\) on DY:n \(y'=x^2y^3\) ratkaisu, mutta se ei toteuta alkuarvoehtoa \(y(1)=3\). Kun \(y\neq 0\), saadaan yhtälöstä
$$
\frac{dy}{dx}=x^2y^3
$$
separoimalla
$$
\int\frac{1}{y^3}dy=\int x^2dx.
$$
Siis
$$
-\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{3}x^3+C_1
$$
eli
$$
\frac{1}{y^2}=-\frac{2}{3}x^3+C.
$$
(Tämä on implisiittinen muoto.) Ehdosta \(y(1)=3\) saadaan
$$
\frac{1}{3^2}=-\frac{2}{3}x^3+C,\quad C=\frac{7}{9}.
$$
Ratkaisu on
$$
\frac{1}{y^2}=-\frac{2}{3}x^3+\frac{7}{9},\quad \frac{1}{y^2}=\frac{-6x^3+7}{9},
$$
eli
$$
y=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}}\quad (\textrm{eksplisiittinen muoto})
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.