7. Integroinnin sovelluksia

7.9 1-kertaluvun differentiaaliyhtälöt

7.9.2 Separoituva differentiaaliyhtälö

1. kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö on muotoa (kirja s.~447) $$ y'=f(x)g(y). $$ Se ratkaistaan kirjoittamalla \(y'=dy/dx\), jolloin $$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Longleftrightarrow \frac{dy}{g(y)}\stackrel{\textrm{separointi}}{=}f(x)dx. $$ Tämä yhtälö voidaan integroida puolittain $$ \int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx. $$ Vastaus sievenee, mikäli \(1/g(y)\) ja \(f(x)\) osataan integroida analyyttisesti.
Esimerkki. Ratkaise $$ y'=\frac{x}{y} $$
Ratkaisu. Separoidaan $$ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} $$ muotoon $$ ydy=xdx, $$ josta integroimalla puolittain saadaan $$ \frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C_1, $$ eli $$ y^2-x^2=C, $$ missä \(C=2C_1\)
Esimerkki. Ratkaise alkuarvo-ongelma $$ y'=x^2y^3,\quad y(1)=3. $$
Ratkaisu. Huomataan, että \(y=0\) on DY:n \(y'=x^2y^3\) ratkaisu, mutta se ei toteuta alkuarvoehtoa \(y(1)=3\). Kun \(y\neq 0\), saadaan yhtälöstä $$ \frac{dy}{dx}=x^2y^3 $$ separoimalla $$ \int\frac{1}{y^3}dy=\int x^2dx. $$ Siis $$ -\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{3}x^3+C_1 $$ eli $$ \frac{1}{y^2}=-\frac{2}{3}x^3+C. $$ (Tämä on implisiittinen muoto.) Ehdosta \(y(1)=3\) saadaan $$ \frac{1}{3^2}=-\frac{2}{3}x^3+C,\quad C=\frac{7}{9}. $$ Ratkaisu on $$ \frac{1}{y^2}=-\frac{2}{3}x^3+\frac{7}{9},\quad \frac{1}{y^2}=\frac{-6x^3+7}{9}, $$ eli $$ y=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}}\quad (\textrm{eksplisiittinen muoto}) $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.