7. Integroinnin sovelluksia
7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä
7.10.1 Frobeniuksen sarjamenetelmä
Esimerkki. Ratkaistaan alkuarvotehtävä
$$
y'=y,\quad y(0)=1.
$$
Ratkaisu. Tehdään yrite
$$
y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k.
$$
Tällä kurssilla ei voida tarkastella sarjan suppenemista. Lasketaan
\begin{equation*}
\begin{split}
y'(x)&=\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
=\sum_{k=0}^\infty\frac{d}{dx} a_kx^k
=\sum_{k=0}^\infty k a_kx^{k-1}
=0+\sum_{k=1}^\infty k a_kx^{k-1}\\
&=\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1}x^{k}
\end{split}
\end{equation*}
Saadaan
$$
\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1}x^{k}
$$
ja päätellään, että täytyy olla
$$
a_k=(k+1)a_{k+1},\quad k\in\mathbb{N},\quad a_0=1.
$$
(Tämä on sarjan kertoimia \(a_k\) koskeva differenssiyhtälö.) Siis
$$
y(0)=\sum_{k=0}^\infty a_k 0^k=a_0=1.
$$
Sitten
$$
a_1=\frac{a_0}{1}=1,\quad
a_2=\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2},\quad
a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}
$$
Siis
$$
a_k=\frac{1}{k!}.
$$
Ratkaisuksi saadaan
$$
y(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=e^x.
$$
Kommentti. Frobeniuksen sarjamenetelmässä differentiaaliyhtälö muuttuu differenssiyhtälöksi, joka on joskus helpompi ratkaista kuin alkuperäinen differentiaaliyhtälö. Saatua sarjakehitelmää ei välttämättä osata kirjoittaa suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla.
Frobeniuksen sarjamenetelmä on teoreettisesti tärkeä. Esimerkiksi kompleksianalyysissä voidaan osoittaa, että jos
$$
f''+Af=0
$$
ja kerroin \(A\) voidaan antaa muodossa
$$
A(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k,\quad -r\lt x\lt r,
$$
missä luvut \(a_k\) ovat kompleksilukuja, ja sarja suppenee, niin myös ratkaisu \(f\) voidaan esittää muodossa
$$
f(x)=\sum_{k=0}^\infty b_kx^k,\quad -r\lt x\lt r,
$$
joillekin kompleksiluvuille \(b_k\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.