7. Integroinnin sovelluksia

7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä

7.10.2 Picardin iteraatiomenetelmä

Esimerkki. Ratkaistaan alkuarvotehtävä $$ y'=y,\quad y(0)=1. $$
Ratkaisu. Siis yhtälö on muotoa $$ y'=f(x,y(x)),\quad y(0)=\alpha. $$ Analyysin peruslauseen mukaan $$ y(x)=y(0)+\int_0^x f(t,y(y))dt. $$ Pätee $y(x)\approx 1$, kun $x\approx 0$, joten $$ y(x)\approx 1+\int_0^x 1dt=1+x. $$
Ahaa! $y(x)\approx 1+x$, kun $x\approx 0$. Jos arvio tehdään uudestaan, arvio tarkentuu! $$ y_2(x)\approx 1+\int_0^x (1+t)dt=1+x+\frac{x^2}{2}. $$ Edelleen $$ y_3(x)\approx 1+\int_0^x (1+t+)dt=1+x+\frac{x^2}{2}. $$ Huomataan, että $$ \lim_{k\to \infty}y_k(x)=e^x. $$ Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on $y(x)=e^x$.
Kommentti. Picardin iteraatiomenetelmä on teoreettisesti tärkeä. Sen avulla voidaan todistaa ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Jos yhtälö on muotoa $$ y'=f(x,y),\quad y(0)=\alpha, $$ missä $$ \bigg|\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\bigg|\leq K,\quad a\lt x\lt b, $$ jollakin $K\in (0,\infty)$, niin Picardin lauseen mukaan yhtälöllä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu välillä $(a,b)$.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.