Processing math: 62%

7. Integroinnin sovelluksia

7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä

7.10.2 Picardin iteraatiomenetelmä

Esimerkki. Ratkaistaan alkuarvotehtävä

$y'=y,\quad y(0)=1.$
Ratkaisu. Siis yhtälö on muotoa

$y'=f(x,y(x)),\quad y(0)=\alpha.$ Analyysin peruslauseen mukaan

$y(x)=y(0)+\int_0^x f(t,y(y))dt.$ Pätee

$y(x)\approx 1$ , kun

$x\approx 0$ , joten

$y(x)\approx 1+\int_0^x 1dt=1+x.$
Ahaa!

$y(x)\approx 1+x$ , kun

$x\approx 0$ . Jos arvio tehdään uudestaan, arvio tarkentuu!

$y_2(x)\approx 1+\int_0^x (1+t)dt=1+x+\frac{x^2}{2}.$ Edelleen

$y_3(x)\approx 1+\int_0^x (1+t+)dt=1+x+\frac{x^2}{2}.$ Huomataan, että

$\lim_{k\to \infty}y_k(x)=e^x.$ Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on

$y(x)=e^x$ .
Kommentti. Picardin iteraatiomenetelmä on teoreettisesti tärkeä. Sen avulla voidaan todistaa ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Jos yhtälö on muotoa

$y'=f(x,y),\quad y(0)=\alpha,$ missä

$\bigg|\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\bigg|\leq K,\quad a\lt x\lt b,$ jollakin

$K\in (0,\infty)$ , niin Picardin lauseen mukaan yhtälöllä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu välillä

$(a,b)$ .

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.