7. Integroinnin sovelluksia

7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä

7.10.3 Laplace-muunnos-menetelmä

Laplace-muunnos on eräs operaatio, joka tekee funktiosta \(f(t)\) toisen funktion eli ```muunnoksen''. Tätä funktiota voidaan merkitä esimerkiksi $$ \mathcal{L}(f)(s)=\widehat{f}(s). $$ Osoittautuu, että derivaatan muunnos voidaan lausua funktion muunnoksen avulla: $$ \widehat{f'}(s)=s\widehat{f}(s)-f(0). $$ Tästä johtuen, esimerkiksi $$ \widehat{f''}(s)=s\widehat{f'}(s)-f'(0) =s(\widehat{f}(s)-f(0))-f'(0) =\widehat{f}(s)-f'(0)-sf(0). $$ Laplace-muunnos on lisäksi lineaarinen operaatio: Jos \(f\) ja \(g\) ovat funktioita ja \(a\) ja \(b\) ovat vakioita, niin $$ \widehat{af+bg}=a\widehat{f}+b\widehat{g}. $$
Esimerkki. Ratkaise alkuarvotehtävä $$ y''+4y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=2. $$
Ratkaisu. Otetaan yhtälöstä Laplace-muunnos puolittain. Lineaarisuuden nojalla saadaan ottaa muunnos joka termistä erikseen ja saadaan $$ \widehat{y''}+4\widehat{y}=\widehat{0}=0. $$ Toisen derivaatan muunnoksen kaavaa käyttäen saadaan $$ (s^2\widehat{y}(s)-sy'(0)-y(0))+4y(s)=0 $$ eli $$ (s^2+4)\widehat{y}(s)-2s-2=0,\quad \widehat{y}(s)=\frac{2s+2}{s^2+4}=2\frac{s}{s^2+4}+2\frac{1}{s^2+4}. $$ Taulukon perusteella todetaan, että $$ \widehat{y}(s)=2\frac{s}{s^2+4}+2\frac{1}{s^2+4} =2\widehat{\cos(2x)}+2\widehat{\sin(2x)}. $$ Ottamalla käänteismuunnos puolittain saadaan $$ y(x)=2\cos(2x)+2\sin(2x). $$
Kommentti. Laplace-muunnoksen käyttämiseksi sovelluksissa riittää tietää, kuinka muunnos toimii. Lisäksi yleensä tehdään osamurtokehitelmiä ja katsotaan tarvittavat kaavat taulukosta. Tämän vuoksi Laplace-muunnosta käytetään yleensä insinööritieteissä. Varsinainen muunnoksen teoreettinen tutkimus voi olla haastavaa. Muunnos määritellään kaavalla $$ \widehat{f}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt. $$ (Käänteismuunnoksen laskeminen tapahtuu kompleksisena integraalina, mistä johtuen käänteismuunnos on parempi katsoa taulukosta.) Muunnoskaavojen todistaminen tapahtuu osittaisintegrointia käyttäen.
Tehtävä. Oletetaan, että $$ \lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)=0,\quad \textrm{kaikilla }s\in(0,\infty). $$ Laplace-muunnoksen ääritelmää käyttäen, todista kaava $$ \widehat{f}=s\widehat{f}(s)-f(0) $$
Kommentti. Integraalimuunnoksia on paljon erilaisia. Esimerkiksi Fourier-muunnosta $$ \mathcal{F}(f)(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx, $$ missä \(\omega\) on ``taajuus'', käytetään paljon muun muassa optiikassa. Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksen kaava on suhteellisen yksinkertainen. Mellinin muunnos $$ \mathcal{M}(f)(s)= \int_0^\infty x^s f(x)\frac{dx}{x} $$ on nimetty suomalaisen matemaatikon Robert Hjalmar Mellinin (1854–1933) mukaan.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.