7. Integroinnin sovelluksia
7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä
7.10.3 Laplace-muunnos-menetelmä
Laplace-muunnos on eräs operaatio, joka tekee funktiosta \(f(t)\) toisen funktion eli ```muunnoksen''. Tätä funktiota voidaan merkitä esimerkiksi
$$
\mathcal{L}(f)(s)=\widehat{f}(s).
$$
Osoittautuu, että derivaatan muunnos voidaan lausua funktion muunnoksen avulla:
$$
\widehat{f'}(s)=s\widehat{f}(s)-f(0).
$$
Tästä johtuen, esimerkiksi
$$
\widehat{f''}(s)=s\widehat{f'}(s)-f'(0)
=s(\widehat{f}(s)-f(0))-f'(0)
=\widehat{f}(s)-f'(0)-sf(0).
$$
Laplace-muunnos on lisäksi lineaarinen operaatio: Jos \(f\) ja \(g\) ovat funktioita ja \(a\) ja \(b\) ovat vakioita, niin
$$
\widehat{af+bg}=a\widehat{f}+b\widehat{g}.
$$
Esimerkki. Ratkaise alkuarvotehtävä
$$
y''+4y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=2.
$$
Ratkaisu. Otetaan yhtälöstä Laplace-muunnos puolittain. Lineaarisuuden nojalla saadaan ottaa muunnos joka termistä erikseen ja saadaan
$$
\widehat{y''}+4\widehat{y}=\widehat{0}=0.
$$
Toisen derivaatan muunnoksen kaavaa käyttäen saadaan
$$
(s^2\widehat{y}(s)-sy'(0)-y(0))+4y(s)=0
$$
eli
$$
(s^2+4)\widehat{y}(s)-2s-2=0,\quad \widehat{y}(s)=\frac{2s+2}{s^2+4}=2\frac{s}{s^2+4}+2\frac{1}{s^2+4}.
$$
Taulukon perusteella todetaan, että
$$
\widehat{y}(s)=2\frac{s}{s^2+4}+2\frac{1}{s^2+4}
=2\widehat{\cos(2x)}+2\widehat{\sin(2x)}.
$$
Ottamalla käänteismuunnos puolittain saadaan
$$
y(x)=2\cos(2x)+2\sin(2x).
$$
Kommentti. Laplace-muunnoksen käyttämiseksi sovelluksissa riittää tietää, kuinka muunnos toimii. Lisäksi yleensä tehdään osamurtokehitelmiä ja katsotaan tarvittavat kaavat taulukosta. Tämän vuoksi Laplace-muunnosta käytetään yleensä insinööritieteissä.
Varsinainen muunnoksen teoreettinen tutkimus voi olla haastavaa. Muunnos määritellään kaavalla
$$
\widehat{f}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt.
$$
(Käänteismuunnoksen laskeminen tapahtuu kompleksisena integraalina, mistä johtuen käänteismuunnos on parempi katsoa taulukosta.) Muunnoskaavojen todistaminen tapahtuu osittaisintegrointia käyttäen.
Tehtävä. Oletetaan, että
$$
\lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)=0,\quad \textrm{kaikilla }s\in(0,\infty).
$$
Laplace-muunnoksen ääritelmää käyttäen, todista kaava
$$
\widehat{f}=s\widehat{f}(s)-f(0)
$$
Kommentti. Integraalimuunnoksia on paljon erilaisia. Esimerkiksi Fourier-muunnosta
$$
\mathcal{F}(f)(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx,
$$
missä \(\omega\) on ``taajuus'', käytetään paljon muun muassa optiikassa. Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksen kaava on suhteellisen yksinkertainen.
Mellinin muunnos
$$
\mathcal{M}(f)(s)=
\int_0^\infty x^s f(x)\frac{dx}{x}
$$
on nimetty suomalaisen matemaatikon Robert Hjalmar Mellinin (1854–1933) mukaan.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.