7. Integroinnin sovelluksia

7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä

7.10.5 Vakion variointi


Esimerkki. Ratkaise differentiaaliyhtälö $$ L(y)=x^2y''-2y=0, $$ kun tiedetään, että \(y(x)=x^2\) on yksi ratkaisu.
Ratkaisu. Yhtälö voitaisiin separoida $$ \frac{y''}{y}=\frac{2}{x^2}, $$ mutta tätä ei osata ratkaista suoraan. Käytetään vihjettä. Yhtälö on lineaarinen ja sen vuoksi myös \(y(x)=ux^2\) on ratkaisu kaikilla \(u\in\R\). Tehdään yrite (varioidaan vakiota \(u\)) \(y_2(x)=u(x)y(x)\). Saadaan \begin{equation*} \begin{split} y_2(x)&=uy\\ y_2'(x)&=u'y+uy'\\ y_2''(x)&=u''y+2u'y'+uy''. \end{split} \end{equation*} Saadaan yhtälö \begin{equation*} \begin{split} L(y_2) &=x^2y_2''-2y_2 =x^2(u''y+2u'y'+uy'')-2uy\\ &=x^2(u''y+2u'y')+u\underbrace{(x^2y''-2y)}_{=Ly=0}\\ &=x^2(u''y+2u'y')=0. \end{split} \end{equation*}
Ahaa! Siis koska yhtälö on lineaarinen, niin termit, jossa on \(u\), tulivat termiin \(u(Ly)\), missä \(Ly=0\), ja siis hävisivät. Jos \(x\neq 0\), saadaan $$ u''y=-2u'y',\quad\frac{u''}{u'}=-2\frac{y'}{y},\quad\ln(u)=-2\ln(y)+C_1. $$ Siis $$ u'=\frac{C_2}{y^2}=\frac{C_3}{x^4},\quad u=\frac{C_4}{x^3}. $$ Siis $$ y_2=u(x)y(x)=\frac{C_4}{x^3}\cdot x^2=\frac{C_4}{x}. $$ Yhtälön yleinen ratkaisu on $$ y(x)=ax^2+b\frac{1}{x}. $$
Kommentti. Prosessissa termi \(u(Ly)\) hävisi ja syntyi uusi yhtälö $$ u''y+2u'y'=0,\quad \textrm{eli}\quad w'y+2wy=0,\quad\textrm{missä } u'=w, $$ joka on funktion \(w=u'\) suhteen alempaa astetta. Tapahtui siis kertaluvun pudotus. Näin tapahtui, koska yhtälö oli lineaarinen.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.