7. Integroinnin sovelluksia
7.10 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä
7.10.5 Vakion variointi
Esimerkki. Ratkaise differentiaaliyhtälö
$$
L(y)=x^2y''-2y=0,
$$
kun tiedetään, että \(y(x)=x^2\) on yksi ratkaisu.
Ratkaisu. Yhtälö voitaisiin separoida
$$
\frac{y''}{y}=\frac{2}{x^2},
$$
mutta tätä ei osata ratkaista suoraan.
Käytetään vihjettä. Yhtälö on lineaarinen ja sen vuoksi myös \(y(x)=ux^2\) on ratkaisu kaikilla \(u\in\R\). Tehdään yrite (varioidaan vakiota \(u\)) \(y_2(x)=u(x)y(x)\). Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
y_2(x)&=uy\\
y_2'(x)&=u'y+uy'\\
y_2''(x)&=u''y+2u'y'+uy''.
\end{split}
\end{equation*}
Saadaan yhtälö
\begin{equation*}
\begin{split}
L(y_2)
&=x^2y_2''-2y_2
=x^2(u''y+2u'y'+uy'')-2uy\\
&=x^2(u''y+2u'y')+u\underbrace{(x^2y''-2y)}_{=Ly=0}\\
&=x^2(u''y+2u'y')=0.
\end{split}
\end{equation*}
Ahaa! Siis koska yhtälö on lineaarinen, niin termit, jossa on \(u\), tulivat termiin \(u(Ly)\), missä \(Ly=0\), ja siis hävisivät.
Jos \(x\neq 0\), saadaan
$$
u''y=-2u'y',\quad\frac{u''}{u'}=-2\frac{y'}{y},\quad\ln(u)=-2\ln(y)+C_1.
$$
Siis
$$
u'=\frac{C_2}{y^2}=\frac{C_3}{x^4},\quad u=\frac{C_4}{x^3}.
$$
Siis
$$
y_2=u(x)y(x)=\frac{C_4}{x^3}\cdot x^2=\frac{C_4}{x}.
$$
Yhtälön yleinen ratkaisu on
$$
y(x)=ax^2+b\frac{1}{x}.
$$
Kommentti. Prosessissa termi \(u(Ly)\) hävisi ja syntyi uusi yhtälö
$$
u''y+2u'y'=0,\quad \textrm{eli}\quad w'y+2wy=0,\quad\textrm{missä } u'=w,
$$
joka on funktion \(w=u'\) suhteen alempaa astetta. Tapahtui siis kertaluvun pudotus. Näin tapahtui, koska yhtälö oli lineaarinen.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.