\usetikzlibrary{calc,fit,intersections}

7. Integroinnin sovelluksia

7.11 Differentiaaliyhtälöiden hahmotusta

7.11.1 Suuntakenttä, perusteet

\hspace{-1cm} Jos ratkaistavana on differentiaaliyhtälö $$ y'=f(x,y),\quad f:\R^2\to\R, $$ niin joka pisteen \((x,y)\) kautta kulkee yksi ratkaisukäyrä, jonka kulmakerroin on \(f(x,y)\). Ratkaisukäyriä voidaan hahmotella piirtämällä lyhyitä viivoja, joilla on tällainen kulmakerroin. Syntyvää kuvaa nimitetään suuntakentäksi. \begin{center} \begin{tikzpicture}[\gt =stealth] \def\xmin{-4};%edit these \def\xmax{4}; \def\ymin{-4}; \def\ymax{4}; \def\xstep{0.5}; \def\ystep{0.5}; \pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep}; \pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep}; \pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0); \draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax); \foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};} \foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};} \def\nuPi{3.1459265} \begin{scope} \clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5); \foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{ \foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{ \pgfmathsetmacro{\CosValue}{2\x}; \draw (\x,\y) ++(-0.2,-0.2*\x) -- ++(0.1,0.2*\x); } } \draw[color=blue,thick] plot (\x,{(\x)^2-3)}) node[right] {\(f(x) = x^2-3\)}; \end{scope} \end{tikzpicture}\\ \end{center} Yhtälön \(y'=2x\) suuntakenttä ja pisteen \((-3,0)\) kautta kulkeva ratkaisukäyrä %\(y(x)=2x-3\). \newpage
Esimerkki. Etsitään alkuarvotehtävän $$ y'=\cos(x),\quad y(0)=1.6, $$ ratkaisu.
Ratkaisu. Ajatellaan, että \(\pi\approx 3\) ja lasketaan $$ \cos(0)=1,\quad \cos(1)\approx 0.5,\quad \cos(1.5)\approx 0 $$ ja $$ \cos(2)\approx -0.5,\quad \cos(3)=-1. $$ Keskiarvona vielä $$ \cos(0.5)\approx (\cos(0)+\cos(1))/2\approx 0.75,\quad \cos(2.5)\approx -0.75. $$ Piirretään käsin tai tietokoneella \(x\)-akselille viivanpätkiä, joilla on tällaiset kulmakertoimet. Samalle \(x\):n arvolle piirretään eri korkeuksille samansuuntaisia viivoja. Hahmotellaan lähtien kohdasta \((0,1.6)\) ratkaisua oikealle ja vasemmalle. \begin{center} \begin{tikzpicture}[\gt =stealth] \def\xmin{-4};%edit these \def\xmax{4}; \def\ymin{-4}; \def\ymax{4}; \def\xstep{0.5}; \def\ystep{0.5}; \pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep}; \pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep}; \pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0); \draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax); \foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};} \foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};} \def\nuPi{3.1459265} \begin{scope} \clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5); \foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{ \foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{ \pgfmathsetmacro{\CosValue}{cos(180*\x/\nuPi) }; \draw[thick] (\x,\y) ++(-0.1,-0.1*\CosValue)-- ++(0.2,0.2*\CosValue); } } \end{scope} \draw[color=blue] plot (\x,{1.7+sin(\x r)}) node[right] {ratkaisukäyrä} ; \end{tikzpicture} \end{center} \newpage
Esimerkki. Hahmottele alkuarvotehtävän $$ y'=x^2/4,\quad y(0)=1.6, $$ ratkaisua, kun on annettu ohessaoleva suuntakenttä. \begin{center} \begin{tikzpicture}[\gt =stealth] \def\xmin{-4};%edit these \def\xmax{4}; \def\ymin{-4}; \def\ymax{4}; \def\xstep{0.5}; \def\ystep{0.5}; \pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep}; \pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep}; \pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0); \draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax); \foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};} \foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};} \def\nuPi{3.1459265} \begin{scope} \clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5); \foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{ \foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{ \pgfmathsetmacro{\CosValue}{(\x)^2/4}; \draw[thick] (\x,\y) ++(-0.1,-0.1*\CosValue)-- ++(0.2,0.2*\CosValue); } } \end{scope} \end{tikzpicture} \end{center} Difyhtälön \(y'=f(x)=x^2/4\) suuntakenttä.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.