\usetikzlibrary{calc,fit,intersections}
7. Integroinnin sovelluksia
7.11 Differentiaaliyhtälöiden hahmotusta
7.11.1 Suuntakenttä, perusteet
\hspace{-1cm}
Jos ratkaistavana on differentiaaliyhtälö
$$
y'=f(x,y),\quad f:\R^2\to\R,
$$
niin joka pisteen \((x,y)\) kautta kulkee yksi ratkaisukäyrä, jonka kulmakerroin on \(f(x,y)\). Ratkaisukäyriä voidaan hahmotella piirtämällä lyhyitä viivoja, joilla on tällainen kulmakerroin. Syntyvää kuvaa nimitetään suuntakentäksi.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[\gt =stealth]
\def\xmin{-4};%edit these
\def\xmax{4};
\def\ymin{-4};
\def\ymax{4};
\def\xstep{0.5};
\def\ystep{0.5};
\pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep};
\pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep};
\pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0);
\draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax);
\foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};}
\foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};}
\def\nuPi{3.1459265}
\begin{scope}
\clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5);
\foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{
\foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{
\pgfmathsetmacro{\CosValue}{2\x};
\draw (\x,\y)
++(-0.2,-0.2*\x) --
++(0.1,0.2*\x);
}
}
\draw[color=blue,thick] plot (\x,{(\x)^2-3)}) node[right] {\(f(x) = x^2-3\)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}\\
\end{center}
Yhtälön \(y'=2x\) suuntakenttä ja pisteen \((-3,0)\) kautta kulkeva ratkaisukäyrä %\(y(x)=2x-3\).
\newpage
Esimerkki. Etsitään alkuarvotehtävän
$$
y'=\cos(x),\quad y(0)=1.6,
$$
ratkaisu.
Ratkaisu.
Ajatellaan, että \(\pi\approx 3\) ja lasketaan
$$
\cos(0)=1,\quad \cos(1)\approx 0.5,\quad \cos(1.5)\approx 0
$$
ja
$$
\cos(2)\approx -0.5,\quad \cos(3)=-1.
$$
Keskiarvona vielä
$$
\cos(0.5)\approx (\cos(0)+\cos(1))/2\approx 0.75,\quad \cos(2.5)\approx -0.75.
$$
Piirretään käsin tai tietokoneella \(x\)-akselille viivanpätkiä, joilla on tällaiset kulmakertoimet.
Samalle \(x\):n arvolle piirretään eri korkeuksille samansuuntaisia viivoja.
Hahmotellaan lähtien kohdasta \((0,1.6)\) ratkaisua oikealle ja vasemmalle.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[\gt =stealth]
\def\xmin{-4};%edit these
\def\xmax{4};
\def\ymin{-4};
\def\ymax{4};
\def\xstep{0.5};
\def\ystep{0.5};
\pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep};
\pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep};
\pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0);
\draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax);
\foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};}
\foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};}
\def\nuPi{3.1459265}
\begin{scope}
\clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5);
\foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{
\foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{
\pgfmathsetmacro{\CosValue}{cos(180*\x/\nuPi) };
\draw[thick] (\x,\y)
++(-0.1,-0.1*\CosValue)--
++(0.2,0.2*\CosValue);
}
}
\end{scope}
\draw[color=blue] plot (\x,{1.7+sin(\x r)}) node[right] {ratkaisukäyrä}
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
Esimerkki. Hahmottele alkuarvotehtävän
$$
y'=x^2/4,\quad y(0)=1.6,
$$
ratkaisua, kun on annettu ohessaoleva suuntakenttä.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[\gt =stealth]
\def\xmin{-4};%edit these
\def\xmax{4};
\def\ymin{-4};
\def\ymax{4};
\def\xstep{0.5};
\def\ystep{0.5};
\pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep};
\pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep};
\pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0);
\draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax);
\foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};}
\foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};}
\def\nuPi{3.1459265}
\begin{scope}
\clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,3.5);
\foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{
\foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{
\pgfmathsetmacro{\CosValue}{(\x)^2/4};
\draw[thick] (\x,\y)
++(-0.1,-0.1*\CosValue)--
++(0.2,0.2*\CosValue);
}
}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Difyhtälön \(y'=f(x)=x^2/4\) suuntakenttä.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.