\usetikzlibrary{calc,fit,intersections}

7. Integroinnin sovelluksia

7.11 Differentiaaliyhtälöiden hahmotusta

7.11.2 Suuntakenttä, yleinen

\hspace{-1cm} Difyhtälössä $$ y'=f(x,y) $$ funktio \(f\) voi riippua muuttujasta \(y\). Esimerkiksi voi olla \(f(x,y)=\cos(x)+y\) tai \(f(x,y)=y\). Tällöin suuntakenttä näyttää eri korkeuksilla (\(y\):n arvoilla) erilaiselta. \begin{center} \begin{tikzpicture}[\gt =stealth] \def\xmin{-4};%edit these \def\xmax{8}; \def\ymin{-4}; \def\ymax{4}; \def\xstep{0.5}; \def\ystep{0.5}; \pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep}; \pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep}; \pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))}; \pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))}; \draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0); \draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax); \foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};} \foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};} \def\nuPi{3.1459265} \begin{scope} \clip (-3.5,-3.5) rectangle (7.5,3.5); \foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{ \foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{ \pgfmathsetmacro{\CosValue}{cos(4*180*\x/\nuPi)+\y/4}; \draw (\x,\y) ++(-0.2,-0.2*\CosValue) -- ++(0.1,0.2*\CosValue); } } \draw[color=blue,thick] plot (\x,{((257+4)/257)*exp(\x/4)+(64/257)*sin(180*4*\x/\nuPi)-(4/257)*cos(180*4*\x/\nuPi)}) node[right] {}; \end{scope} \end{tikzpicture}\\ \end{center} Yhtälön \(y'=\cos(4x)+e^{x/4}\) suuntakenttä ja pisteen \((1,0)\) kautta kulkeva hahmotelma ratkaisukäyrästä $$ y(x) = \frac{261}{257}e^{x/4} +\frac{64}{257}\sin(4x)-\frac{4}{257}\cos(4x). $$ Yhtälön \(y'=y/4\) ratkaisu olisi \(Ce^{x/4}\) ja yhtälön \(y'=\cos(4x)\) ratkaisu \(C\sin(4x)\). Nyt ratkaisu on jollakin tapaa ``yhdistelmä näistä''. Mukaan on ilmestynyt myös termi \(C\cos(4x)\).

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.