\usetikzlibrary{calc,fit,intersections}
7. Integroinnin sovelluksia
7.11 Differentiaaliyhtälöiden hahmotusta
7.11.2 Suuntakenttä, yleinen
\hspace{-1cm}
Difyhtälössä
$$
y'=f(x,y)
$$
funktio \(f\) voi riippua muuttujasta \(y\). Esimerkiksi voi olla \(f(x,y)=\cos(x)+y\) tai \(f(x,y)=y\). Tällöin suuntakenttä näyttää eri korkeuksilla (\(y\):n arvoilla) erilaiselta.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[\gt =stealth]
\def\xmin{-4};%edit these
\def\xmax{8};
\def\ymin{-4};
\def\ymax{4};
\def\xstep{0.5};
\def\ystep{0.5};
\pgfmathsetmacro{\xstepp}{\xmin+\xstep};
\pgfmathsetmacro{\ystepp}{\xmin+\ystep};
\pgfmathsetmacro{\xax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\yax}{int(ceil(\xmin))};
\pgfmathsetmacro{\xaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\pgfmathsetmacro{\yaxx}{int(ceil(\xmin+1))};
\draw[-\gt ] (\xmin,0) -- (\xmax,0);
\draw[-\gt ] (0,\ymin) -- (0,\ymax);
\foreach \x in {\xax,\xaxx,...,\xmax}{\filldraw (\x,0) circle (1pt) node[below]{\x};}
\foreach \y in {\yax,\yaxx,...,\ymax}{\filldraw (0,\y) circle (1pt) node[left]{\y};}
\def\nuPi{3.1459265}
\begin{scope}
\clip (-3.5,-3.5) rectangle (7.5,3.5);
\foreach \x in {\xmin,\xstepp,...,\xmax}{
\foreach \y in {\ymin,\ystepp,...,\ymax}{
\pgfmathsetmacro{\CosValue}{cos(4*180*\x/\nuPi)+\y/4};
\draw (\x,\y)
++(-0.2,-0.2*\CosValue) --
++(0.1,0.2*\CosValue);
}
}
\draw[color=blue,thick] plot (\x,{((257+4)/257)*exp(\x/4)+(64/257)*sin(180*4*\x/\nuPi)-(4/257)*cos(180*4*\x/\nuPi)}) node[right] {};
\end{scope}
\end{tikzpicture}\\
\end{center}
Yhtälön \(y'=\cos(4x)+e^{x/4}\) suuntakenttä ja pisteen \((1,0)\) kautta kulkeva hahmotelma ratkaisukäyrästä
$$
y(x)
= \frac{261}{257}e^{x/4}
+\frac{64}{257}\sin(4x)-\frac{4}{257}\cos(4x).
$$
Yhtälön \(y'=y/4\) ratkaisu olisi \(Ce^{x/4}\) ja yhtälön \(y'=\cos(4x)\) ratkaisu \(C\sin(4x)\). Nyt ratkaisu on jollakin tapaa ``yhdistelmä näistä''. Mukaan on ilmestynyt myös termi \(C\cos(4x)\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.