Reaalianalyysi (8 op)
Syksy 2019 / Harjoitus 12
KE 4.12. klo 12-14 ja klo 14-17 / TO 5.12. klo 8-11
HUOMAA POIKKEUKSELLISET SALIVARAUKSET
Harjoittelu/itseopiskelu
-
Laske derivaatan määritelmän avulla \(f'(x)\), kun
- \(f(x)=x^3,\quad x\in\mathbb{R}\),
- \(f(x)=1/x,\quad x\neq 0\),
- \(f(x)=\sqrt{x},\quad x>0\).
-
Oletetaan, että \(L:(0,\infty)\to\mathbb{R}\) on funktio, siten, että \(L'(x)=1/x\), kun \(x>0\). Derivoi seuraavat funktiot:
- \(f(x)=L(2x+3),\quad x>0,\)
- \(g(x)=L(x^2)^3,\quad x>0,\)
- \(h(x)=L(ax),\quad a>0,\quad x>0,\)
- \(k(x)=L(L(x)),\quad L(x)>0,\quad x>0.\)
Kotitehtävät
-
Olkoon \(g\) suljetulla välillä \([0,1]\) määritelty funktio
$$
g(x)=
\begin{cases}
1/2,\quad x\in\{0,1\},\\
1-x,\quad 0\lt x\lt 1.
\end{cases}
$$
Piirrä funktion \(g\) kuvaaja. Määrää
$$
\sup_{0\leq x\leq 1}g(x)\quad\textrm{ja}\quad\inf_{0\leq x\leq 1} g(x).
$$
Onko funktiolla \(g\) suurin arvo tai pienin arvo välillä \([0,1]\)?
-
Määritellään funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) asettamalla
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2,\quad x\in\mathbb{Q}\{0,1\},\\
0,\quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\end{cases}
$$
Osoita, että \(f\) on derivoituva pisteessä \(x=0\), sekä laske \(f'(0).\)
Osoita ensin, että \(\bigg|\dfrac{f(x)}{x}\bigg|\leq |x|\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.\)
- Olkoot \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\) vakioita ja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) funktio
$$
f(x)=\sum_{k=1}^n(x-a_k)^2.
$$
Määrää se yksikäsitteinen piste, jossa \(f\) saa pienimmän arvonsa.
Itse asiassa \(f(x)=nx^2+bx+c,\) missä \(b,c\in\mathbb{R}.\)
- Osoita Rollen lauseen avulla, että funktiolla
$$
f(x)=x^9+x^7+x^5+4x^3+7x
$$
on täsmälleen yksi reaalinen nollakohta.
Koska \(f(0)=0\), niin funktiolla \(f\) on ainakin yksi reaalinen nollakohta. Tulee siis vielä osoittaa, että funktiolla \(f\) on korkeintaan yksi reaalinen nollakohta. Tee antiteesi, että funktiolla \(f\) on ainakin kaksi reaalista nollakohtaa.
- Lupaudun jättämään kurssipalautteen Weboodiin kurssin päätyttyä.
Harjoittelutehtävien vastaukset
-
(a)
$$\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}
\\&=&
\lim_{h\to 0}\frac{3x^2+3xh^2+h^3}{h}
\\&=&
3x^2.
\end{eqnarray*}$$
(b)
$$\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}
=
\lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\\&=&
\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)}
=
-\frac{1}{x^2}.
\end{eqnarray*}$$
(c)
$$\begin{eqnarray*}
f'(x)
&=&
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{h}}{h}
=
\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}
\\&=&
\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\end{eqnarray*}$$
Kohdassa (c) on käytetty neliöjuuren jatkuvuutta.
- Kaikissa kohdissa tarvitaan ketjusääntöä.
(a)
$$\begin{eqnarray*}
f'(x)=L'(2x+3)\cdot 2=\frac{2}{2x+3},\quad x>0.
\end{eqnarray*}$$
(b)
$$\begin{eqnarray*}
g'(x)=3\cdot L(x^2)^2\cdot L'(x^2)\cdot 2x
=\frac{6}{x}\cdot L(x^2)^2,\quad x>0.
\end{eqnarray*}$$
(c)
$$\begin{eqnarray*}
h'(x)=L'(ax)\cdot a=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}.
\end{eqnarray*}$$
(d)
$$\begin{eqnarray*}
k'(x)
=L'(L'(x))\cdot L'(x)
=\frac{1}{L(x)}\cdot\frac{1}{x}
=\frac{1}{xL(x)}.
\end{eqnarray*}$$