Erottelujen ja fonttikoon harjoittelua
Esimerkki. Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).
Ratkaisu. Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).
Esimerkki. Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).
Ratkaisu Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).
Esimerkki.
Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).
Ratkaisu.
Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).
Esimerkki.
Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).
Ratkaisu. (eksplisiittisesti.)
Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).