Erottelujen/jäsentelyn harjoittelua

Integraali $$ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx $$ suppenee, jos ja vain jos \(p>1\).

Esimerkki. Wikipedian perustajan Jimmy Walesin mukaan Wikipedia on ”pyrkimys luoda ja levittää jokaiselle planeetan asukkaalle heidän omalla kielellään mahdollisimman laadukas vapaa tietosanakirja”.[5]

Ratkaisu. Wikipedia tarjoaa laajat siteerausoikeudet: kuka tahansa voi käyttää sen sisältöä ilmaiseksi ja joitakin kuvia lukuun ottamatta myös kaupallisesti, kunhan samat oikeudet tarjotaan edelleen ja alkuperäinen lähde mainitaan. Wikipedian kuvituksen tärkeimpänä lähteenä toimii media-arkisto Wikimedia Commons, joka sisältää yli 30 miljoonaa tekijänoikeuksista vapaata tai vapaasti levitettävää kuvaa ja muuta mediatiedostoa.[6]


Esimerkki. Wikipedian perustajan Jimmy Walesin mukaan Wikipedia on ”pyrkimys luoda ja levittää jokaiselle planeetan asukkaalle heidän omalla kielellään mahdollisimman laadukas vapaa tietosanakirja”.[5]

Ratkaisu Wikipedia tarjoaa laajat siteerausoikeudet: kuka tahansa voi käyttää sen sisältöä ilmaiseksi ja joitakin kuvia lukuun ottamatta myös kaupallisesti, kunhan samat oikeudet tarjotaan edelleen ja alkuperäinen lähde mainitaan. Wikipedian kuvituksen tärkeimpänä lähteenä toimii media-arkisto Wikimedia Commons, joka sisältää yli 30 miljoonaa tekijänoikeuksista vapaata tai vapaasti levitettävää kuvaa ja muuta mediatiedostoa.[6]


Esimerkki.
Wikipedian perustajan Jimmy Walesin mukaan Wikipedia on ”pyrkimys luoda ja levittää jokaiselle planeetan asukkaalle heidän omalla kielellään mahdollisimman laadukas vapaa tietosanakirja”.[5]

Ratkaisu.
Wikipedia tarjoaa laajat siteerausoikeudet: kuka tahansa voi käyttää sen sisältöä ilmaiseksi ja joitakin kuvia lukuun ottamatta myös kaupallisesti, kunhan samat oikeudet tarjotaan edelleen ja alkuperäinen lähde mainitaan. Wikipedian kuvituksen tärkeimpänä lähteenä toimii media-arkisto Wikimedia Commons, joka sisältää yli 30 miljoonaa tekijänoikeuksista vapaata tai vapaasti levitettävää kuvaa ja muuta mediatiedostoa.[6]

Esimerkki.
Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).

Ratkaisu.(eksplisiittisesti)
Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).

Esimerkki.
Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).

Ratkaisu.(eksplisiittisesti)
Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).

Esimerkki.
Lasketaan tangentin kulmakerroin käyrän \(y^2 = x\) pisteessä (4,2).

Ratkaisu.(eksplisiittisesti)
Jos \(y^2 = x\), niin \(y^2 \geq 0\) ja edelleen \(x\geq 0\). Tällöin yhtälöstä \(y^2=x\) voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, ja saadaan \(|y|=\sqrt{x}\). Näin ollen käyrä \(y^2=x\) koostuu kahdesta osasta, joita vastaavat funktiot \(y = \sqrt{x}\) ja \(y = -\sqrt{x}\), missä \(x\geq 0\). Kumpikin funktiosta on derivoituva, ja niiden derivaattoina saadaan käyrän kulmakertoimet jokaiselle pisteelle poislukien origo. Erityisesti, tangentin kulmakerroin pisteessä \( (4,2) \) on funktion \(\sqrt{x}\) derivaatta pisteessä \(x=4\). Tangentin kulmakertoimeksi saadaan \(1/4\).