7.4.3video1: Pappuksen tilavuuslause.
Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kertomalla massakeskipisteen kulkema matka alueen pinta-alalla.

7.4.3video2: Pappuksen tilavuuslauseen todistus.
Todistetaan Pappuksen tilavuuslause.

7.4.3video3: Pappuksen pinta-alalause.
Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kertomalla käyrän massakeskipisteen kulkema käyrän pituudella.

7.4.3video4: Pappuksen pinta-alalauseen todistus.
Todistetaan Pappuksen pinta-alalause.

7.4.3video5: Geometrisen summan kaava.
Todistetaan geometrisen summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän \(y=e^x\) ja \(x\)-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.

7.4.3video6: Baselin ongelma.
Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja johtamalla luonnollisten lukujen käänteislukujen summa. Johdossa tarvitaan sinin sarjakehitelmää ja tuloesitystä äärettömänä tulona. Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kuuluisa matemaatikko Euler laski summan ensimmäisenä, vuonna 1734.

7.4.3video7: Wallisin tulo.
Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja laskemalla ääretön tulo \(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdots\). Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kaavan todisti Wallis vuonna 1656.

7.4.3video8: Sarja osamurrolla 1.
Lasketaan muotoa \(\frac{1}{n(n+2)}\) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.

7.4.3video9: Sarja osamurrolla 2.
Lasketaan muotoa \(\frac{1}{n(n+k)}\) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.

7.4.3video10: Kosinin ääretön tulo.
Kosini voidaan esittää sekä sarjakehitelmänä että tulokehitelmänä. Kehitelmien kertoimia vertaamalla voidaan johtaa erään sarjan summa.

7.4.3video11: Geometrisen summan kaava.
Todistetaan geometrisen summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän \(y=e^x\) ja \(x\)-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.