Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.


Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 1

  1. Laske integraalit
    1. \(\displaystyle \int\bigg( \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x-1 \bigg)\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int \frac{6(x-1)}{x^{4/3}} \,dx, \)
    3. \(\displaystyle \int (2t^{1/2}+3t^{1/3}) \,dt, \)
  1. Ratkaise alkuarvo-ongelma $$\begin{cases} y'&=&x-2,\\ y(0)&=&3. \end{cases} $$
  2. Ratkaise alkuarvo-ongelma $$\begin{cases} y''&=&x+\sin(x),\\ y(0)&=&2,\\ y'(0)&=&0. \end{cases} $$
  1. Kirjoita summat käyttämällä sigma-merkintää.
    1. \(\displaystyle 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}, \)
    2. \(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots+\frac{n}{2^n}, \)
    3. \(\displaystyle 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+100x^{99}. \)
  1. Kirjoita summat sievennetyssä muodossa (ilman sigma-merkintää).
    1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^n(2^i-i^2), \)
    2. \(\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} e^{j/n}, \)
    3. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \ln k. \)
  1. Määritä suorakulmioiden avulla käyrän \(y=1-x^2\) ja \(x\)-akselin rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala välillä \([0,1]\). Käytä päättelyssä välin \([0,1]\) tasavälisiä jakoja.
  2. Määrää raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n\), missä \(\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\bigg(1-\frac{i}{n}\bigg)\).

    Voit tulkita summan raja-arvon suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi. (Katso Example 4 kurssikirjan sivulta 301 - uusin painos.)
  3. Olkoon \(P_5\) välin \([1,2]\) tasavälinen jako viiteen osaväliin. Laske alasumma \(L(f,P_5)\) ja yläsumma \(U(f,P_5)\) funktiolle \(f(x)=\ln x.\)