Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 1
-
Laske integraalit
-
\(\displaystyle
\int\bigg(
\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x-1
\bigg)\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int
\frac{6(x-1)}{x^{4/3}}
\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int
(2t^{1/2}+3t^{1/3})
\,dt,
\)
-
Ratkaise alkuarvo-ongelma
$$\begin{cases}
y'&=&x-2,\\
y(0)&=&3.
\end{cases}
$$
-
Ratkaise alkuarvo-ongelma
$$\begin{cases}
y''&=&x+\sin(x),\\
y(0)&=&2,\\
y'(0)&=&0.
\end{cases}
$$
-
Kirjoita summat käyttämällä sigma-merkintää.
-
\(\displaystyle
1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n^2},
\)
-
\(\displaystyle
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots+\frac{n}{2^n},
\)
-
\(\displaystyle
1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+100x^{99}.
\)
-
Kirjoita summat sievennetyssä muodossa (ilman sigma-merkintää).
-
\(\displaystyle
\sum_{i=1}^n(2^i-i^2),
\)
-
\(\displaystyle
\sum_{j=0}^{n-1}
e^{j/n},
\)
-
\(\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ln k.
\)
-
Määritä suorakulmioiden avulla käyrän \(y=1-x^2\) ja \(x\)-akselin rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala välillä \([0,1]\). Käytä päättelyssä välin \([0,1]\) tasavälisiä jakoja.
-
Määrää raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n\), missä \(\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\bigg(1-\frac{i}{n}\bigg)\).
Voit tulkita summan raja-arvon suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi. (Katso Example 4 kurssikirjan sivulta 301 - uusin painos.)
-
Olkoon \(P_5\) välin \([1,2]\) tasavälinen jako viiteen osaväliin. Laske alasumma \(L(f,P_5)\) ja yläsumma \(U(f,P_5)\) funktiolle \(f(x)=\ln x.\)