UEF matematiikan verkkomateriaali

Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 1

Laske integraalit
1. $\displaystyle \int\bigg( \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x-1 \bigg)\,dx,$
2. $\displaystyle \int \frac{6(x-1)}{x^{4/3}} \,dx,$
3. $\displaystyle \int (2t^{1/2}+3t^{1/3}) \,dt,$

Ratkaise alkuarvo-ongelma $\begin{cases} y'&=&x-2,\\ y(0)&=&3. \end{cases}$
Ratkaise alkuarvo-ongelma $\begin{cases} y''&=&x+\sin(x),\\ y(0)&=&2,\\ y'(0)&=&0. \end{cases}$

Kirjoita summat käyttämällä sigma-merkintää.
1. $\displaystyle 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n^2},$
2. $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots+\frac{n}{2^n},$
3. $\displaystyle 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+100x^{99}.$

Kirjoita summat sievennetyssä muodossa (ilman sigma-merkintää).
1. $\displaystyle \sum_{i=1}^n(2^i-i^2),$
2. $\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} e^{j/n},$
3. $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ln k.$

Määritä suorakulmioiden avulla käyrän $y=1-x^2$ ja $x$ -akselin rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala välillä $[0,1]$ . Käytä päättelyssä välin $[0,1]$ tasavälisiä jakoja.
Määrää raja-arvo $\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n$ , missä $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\bigg(1-\frac{i}{n}\bigg)$ .
Voit tulkita summan raja-arvon suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi. (Katso Example 4 kurssikirjan sivulta 301 - uusin painos.)
Olkoon $P_5$ välin $[1,2]$ tasavälinen jako viiteen osaväliin. Laske alasumma $L(f,P_5)$ ja yläsumma $U(f,P_5)$ funktiolle $f(x)=\ln x.$

Laskuharjoitus