Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.


Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 2

  1. Osoita, että funktio \(f(x)=1-x\) on integroituva välillä \([0,2]\). Määrää $$ \int_0^2f(x)\,dx $$ käyttämällä Riemannin integraalin määritelmää.
  1. Differentiaalilaskennan kurssilla luonnollinen logaritmi \(\ln x\) määriteltiin pinta-alan avulla. Nyt voidaan kirjoittaa $$ \ln x=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt,\quad x\in]0,\infty[. $$ Käyttämällä ainoastaan tätä esitysmuotoa, Luvun 5.4 alussa olevia määrätyn integraalin perusominaisuuksia sekä logaritmin laskusääntöjä, laske
    1. \(\displaystyle \int_2^4\frac{1}{t}\,dt, \)
    2. \(\displaystyle \int_{1/4}^3\frac{1}{s}\,ds. \)
  1. Laske integraali käyttämällä ainoastaan suorakulmioiden ja kolmioiden pinta-aloja sekä määrätyn integraalin perusominaisuuksia: $$ \int_{-3}^2f(x)\,dx,\quad\textrm{missä}\quad f(x)= \begin{cases} 1+x&,&x\lt 0,\\ 2&,&x\geq 0. \end{cases} $$
  1. Laske määrätyt integraalit
    1. \(\displaystyle \int_0^2x^3\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int_{1/2}^1\frac{1}{x^2}\,dx, \)
    3. \(\displaystyle \int_{-2}^2(x^2+3)\,dx. \)
  1. Laske määrätyt integraalit
    1. \(\displaystyle \int_4^9\bigg(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int_{-2}^4(e^x-e^{-x})\,dx, \)
    3. \(\displaystyle \int_{-1}^12^x\,dx. \)
    1. Laske paraabelin \(y=x^2-4x\) ja \(x\)-akselin rajoittaman (äärellisen) alueen pinta-ala.
    2. Laske käyrän \(y=\dfrac{1}{x}\) ja \(x\)-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä \([e,e^2]\).
  1. Jatkuvan funktion \(f\) integraalikeskiarvo välillä \([a,b]\) on luku $$ \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx. $$ Laske funktion \(f\) integraalikeskiarvo välillä \([a,b]\), kun
    1. \(f(x)=1+x+x^2+x^3\) ja \([a,b]=[0,2]\).
    2. \(f(x)=e^{3x}\) ja \([a,b]=[-2,2]\).
  1. Laske derivaatat
    1. \(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_2^x\frac{\sin(t)}{t}\,dt, \)
    2. \(\displaystyle \frac{d}{dt}\int_t^3\frac{\sin(x)}{x}\,dx, \)
    3. \(\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg(x^2\int_0^{x^2}\frac{\sin(u)}{u}\,du\bigg). \)