Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 2
-
Osoita, että funktio \(f(x)=1-x\) on integroituva välillä \([0,2]\). Määrää
$$
\int_0^2f(x)\,dx
$$
käyttämällä Riemannin integraalin määritelmää.
-
Differentiaalilaskennan kurssilla luonnollinen logaritmi \(\ln x\) määriteltiin pinta-alan avulla. Nyt voidaan kirjoittaa
$$
\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt,\quad x\in]0,\infty[.
$$
Käyttämällä ainoastaan tätä esitysmuotoa, Luvun 5.4 alussa olevia määrätyn integraalin perusominaisuuksia sekä logaritmin laskusääntöjä, laske
-
\(\displaystyle
\int_2^4\frac{1}{t}\,dt,
\)
-
\(\displaystyle
\int_{1/4}^3\frac{1}{s}\,ds.
\)
-
Laske integraali käyttämällä ainoastaan suorakulmioiden ja kolmioiden pinta-aloja sekä määrätyn integraalin perusominaisuuksia:
$$
\int_{-3}^2f(x)\,dx,\quad\textrm{missä}\quad
f(x)=
\begin{cases}
1+x&,&x\lt 0,\\
2&,&x\geq 0.
\end{cases}
$$
-
Laske määrätyt integraalit
-
\(\displaystyle
\int_0^2x^3\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int_{1/2}^1\frac{1}{x^2}\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int_{-2}^2(x^2+3)\,dx.
\)
-
Laske määrätyt integraalit
-
\(\displaystyle
\int_4^9\bigg(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int_{-2}^4(e^x-e^{-x})\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\int_{-1}^12^x\,dx.
\)
-
-
Laske paraabelin \(y=x^2-4x\) ja \(x\)-akselin rajoittaman (äärellisen) alueen pinta-ala.
-
Laske käyrän \(y=\dfrac{1}{x}\) ja \(x\)-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä \([e,e^2]\).
-
Jatkuvan funktion \(f\) integraalikeskiarvo välillä \([a,b]\) on luku
$$
\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx.
$$
Laske funktion \(f\) integraalikeskiarvo välillä \([a,b]\), kun
-
\(f(x)=1+x+x^2+x^3\) ja \([a,b]=[0,2]\).
-
\(f(x)=e^{3x}\) ja \([a,b]=[-2,2]\).
-
Laske derivaatat
-
\(\displaystyle
\frac{d}{dx}\int_2^x\frac{\sin(t)}{t}\,dt,
\)
-
\(\displaystyle
\frac{d}{dt}\int_t^3\frac{\sin(x)}{x}\,dx,
\)
-
\(\displaystyle
\frac{d}{dx}\bigg(x^2\int_0^{x^2}\frac{\sin(u)}{u}\,du\bigg).
\)