Processing math: 100%

Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.

Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 2

Osoita, että funktio $f(x)=1-x$ on integroituva välillä $[0,2]$ . Määrää $\int_0^2f(x)\,dx$ käyttämällä Riemannin integraalin määritelmää.

Differentiaalilaskennan kurssilla luonnollinen logaritmi lnx määriteltiin pinta-alan avulla. Nyt voidaan kirjoittaa lnx=∫x11tdt,x∈]0,∞[. Käyttämällä ainoastaan tätä esitysmuotoa, Luvun 5.4 alussa olevia määrätyn integraalin perusominaisuuksia sekä logaritmin laskusääntöjä, laske
1. $\displaystyle \int_2^4\frac{1}{t}\,dt,$
2. $\displaystyle \int_{1/4}^3\frac{1}{s}\,ds.$

Laske integraali käyttämällä ainoastaan suorakulmioiden ja kolmioiden pinta-aloja sekä määrätyn integraalin perusominaisuuksia: $\int_{-3}^2f(x)\,dx,\quad\textrm{missä}\quad f(x)= \begin{cases} 1+x&,&x\lt 0,\\ 2&,&x\geq 0. \end{cases}$

Laske määrätyt integraalit
1. $\displaystyle \int_0^2x^3\,dx,$
2. $\displaystyle \int_{1/2}^1\frac{1}{x^2}\,dx,$
3. $\displaystyle \int_{-2}^2(x^2+3)\,dx.$

Laske määrätyt integraalit
1. $\displaystyle \int_4^9\bigg(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)\,dx,$
2. $\displaystyle \int_{-2}^4(e^x-e^{-x})\,dx,$
3. $\displaystyle \int_{-1}^12^x\,dx.$

1. Laske paraabelin $y=x^2-4x$ ja $x$ -akselin rajoittaman (äärellisen) alueen pinta-ala.
2. Laske käyrän $y=\dfrac{1}{x}$ ja $x$ -akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä $[e,e^2]$ .

Jatkuvan funktion f integraalikeskiarvo välillä [a,b] on luku ˉf=1b−a∫baf(x)dx. Laske funktion f integraalikeskiarvo välillä [a,b], kun
1. $f(x)=1+x+x^2+x^3$ ja $[a,b]=[0,2]$ .
2. $f(x)=e^{3x}$ ja $[a,b]=[-2,2]$ .

Laske derivaatat
1. $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_2^x\frac{\sin(t)}{t}\,dt,$
2. $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_t^3\frac{\sin(x)}{x}\,dx,$
3. $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg(x^2\int_0^{x^2}\frac{\sin(u)}{u}\,du\bigg).$