Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.

Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 3
  1. Integroi käyttämällä annettuja opasteita.
    1. \(\displaystyle \int\sqrt{3x+4}\,dx,\quad\textrm{sijoitus}\quad u=3x+4,\,du=3dx, \)
    2. \(\displaystyle \int\frac{\ln x}{x}\,dx,\quad\textrm{kaava}\quad \int g(x)g'(x)\,dx=\frac{1}{2}g(x)^2+C. \)
  1. Integroi käyttämällä annettua sijoitusta.
    1. \(\displaystyle \int e^{2x}\sin(e^{2x})\, dx,\quad\textrm{sijoitus}\quad u=e^{2x}, \)
    2. \(\displaystyle \int\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx,\quad\textrm{sijoitus}\quad u=\sqrt{x}. \)
  1. Keksi sopiva sijoitus ja integroi sijoittamalla.
    1. \(\displaystyle \int_1^2\frac{x}{(4x^2+1)}\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int x^22^{x^3+1}\,dx. \)
  1. Integroi.
    1. \(\displaystyle \int\frac{x}{(2x^2+1)}\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int e^{2x}\cos(e^{2x})\,dx. \)
  1. Laske määrätyt integraalit
    1. \(\displaystyle \int_{-1}^1 9x^2\sqrt{x^3+1}\,dx, \)
    2. \(\displaystyle \int_1^3\frac{x}{x^2+1}\,dx. \)
  1. Määritä käyrien \(y=x^2-2x\) ja \(y=4-x^2\) väliin jäävän äärellisen alueen pinta-ala.
  2. Määritä käyrien \(\sin^2(x)\) ja \(y=\cos^2(x)\) rajoittaman alueen pinta-ala välillä \(\bigg[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\bigg]\).
  1. Integroi osittaisintegroinnilla.
    1. \(\displaystyle \int_0^1(x+3)e^{2x}\,dx, \)
    2. \(\displaystyle (x^2+2x)e^{kx}\,dx. \)
  1. Integroi osittaisintegroinnilla.
    1. \(\displaystyle \int\frac{\ln x}{x^2}\,dx, \)
    2. \(\displaystyle e^x\sin(x)\,dx. \)
    (b)-kohdassa osittaisintegrointia joudutaan käyttämään kahteen kertaan.