Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.


Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 4

  1. Laske integraalit.
    1. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\pi x+2}, \)
    2. \(\displaystyle \int\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \)
  1. Laske \(\displaystyle \int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,dx. \)
  2. Laske \(\displaystyle \int_1^e x^3(\ln x)^2\,dx. \)
  3. Laske \(\displaystyle \int\frac{1}{x^2-9}\,dx. \)
    Selvitä ensin luvut \(A\) ja \(B\) kehitelmästä \(\displaystyle \frac{1}{x^2-9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}. \)
  1. Laske epäoleelliset integraalit
    1. \(\displaystyle \int_2^\infty\frac{dx}{(x-1)^3}, \)
    2. \(\displaystyle \int_3^\infty\frac{dx}{(2x-1)^{2/3}}. \)
  1. Laske epäoleellinen integraali \(\displaystyle \int_0^1\ln x\,dx. \)
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x\quad\textrm{ja}\quad c\ln c=\frac{\ln c}{1/c}. \)
  1. Osoita, että epäoleellinen integraali \(\displaystyle \int_0^\infty e^{x^2}\,dx \) suppenee.

    Sovella arvioita $$ 0\lt e^{-x^2}\leq 1,\quad\textrm{kun } x\in[0,1], $$ $$ 0\lt e^{-x^2}\leq e^{-x},\quad\textrm{kun } x\in ]1,\infty[. $$
    1. Laske puolisuunnikassäännön approksimaatio \(T_4\) integraalille $$ \int_1^3\frac{1}{x}\,dx. $$ Laske absoluuttinen virhe ja suhteellinen virhe tiedossa olevaan tarkkaan arvoon \(\ln 3\approx 1,09861\) nähden.
    2. Kuten (a)-kohta, mutta keskipistesäännön approksimaatiolle \(M_4\).