Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 4
-
Laske integraalit.
-
\(\displaystyle
\int\frac{dx}{\pi x+2},
\)
-
\(\displaystyle
\int\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
\)
-
Laske
\(\displaystyle
\int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,dx.
\)
-
Laske
\(\displaystyle
\int_1^e x^3(\ln x)^2\,dx.
\)
-
Laske
\(\displaystyle
\int\frac{1}{x^2-9}\,dx.
\)
Selvitä ensin luvut \(A\) ja \(B\) kehitelmästä
\(\displaystyle
\frac{1}{x^2-9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}.
\)
-
Laske epäoleelliset integraalit
-
\(\displaystyle
\int_2^\infty\frac{dx}{(x-1)^3},
\)
-
\(\displaystyle
\int_3^\infty\frac{dx}{(2x-1)^{2/3}}.
\)
-
Laske epäoleellinen integraali
\(\displaystyle
\int_0^1\ln x\,dx.
\)
\(\displaystyle
\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x\quad\textrm{ja}\quad c\ln c=\frac{\ln c}{1/c}.
\)
-
Osoita, että epäoleellinen integraali
\(\displaystyle
\int_0^\infty e^{x^2}\,dx
\)
suppenee.
Sovella arvioita
$$
0\lt e^{-x^2}\leq 1,\quad\textrm{kun } x\in[0,1],
$$
$$
0\lt e^{-x^2}\leq e^{-x},\quad\textrm{kun } x\in ]1,\infty[.
$$
-
-
Laske puolisuunnikassäännön approksimaatio \(T_4\) integraalille
$$
\int_1^3\frac{1}{x}\,dx.
$$
Laske absoluuttinen virhe ja suhteellinen virhe tiedossa olevaan tarkkaan arvoon \(\ln 3\approx 1,09861\) nähden.
-
Kuten (a)-kohta, mutta keskipistesäännön approksimaatiolle \(M_4\).