Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 5
-
Laske Simpsonin säännön approksimaatio \(S_4\) integraalille
$$
\int_1^3\frac{1}{x}\,dx.
$$
Laske absoluuttinen virhe ja suhteellinen virhe tiedossa olevaan tarkkaan arvoon \(\ln(3)\approx 1,09861\) nähden.
-
Tarkastellaan ympyräpohjaista kartiota, jonka pohjaympyrän säde on \(r\) ja jonka korkeus on \(h\). Todista integroimalla, että kartion tilavuus on \(\dfrac{\pi r^2 h}{3}\).
-
Käyrä \(y=\ln(x)\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([1,e]\). Laske muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus.
Integraali
\(\displaystyle
\int_1^e(\ln x)^2\,dx=\int_1^e(\ln x)(\ln x)\,dx
\)
voidaan laskea osittaisintegroinnilla.
- Käyrän \(y=x^3\), \(y\)-akselin ja suoran \(y=1\) rajoittama alue pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus.
- Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrä \(y=x+e^x\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([0,2]\).
- Tason pisteet \((0,1)\) ja \((4,3)\) yhdistävä jana on suoralla \(y=1+\frac{x}{2}\). Laske janan pituus käyrän pituuden kaavalla
\(\displaystyle
S=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx,
\)
missä \(y=f(x)\).
-
Laske käyrän
\(\displaystyle
y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x}
\)
pituus välillä \([1,2]\).
-
Käyrän \(y=\sin(x)\) pituus välillä \([0,\pi]\) on
$$
S=\int_0^\pi\sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx.
$$
Laske käyrän pituudelle \(S\) approksimaatio Simpsonin säännöllä käyttämällä kahdeksaa jakoväliä.