Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.


Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 5

  1. Laske Simpsonin säännön approksimaatio \(S_4\) integraalille $$ \int_1^3\frac{1}{x}\,dx. $$ Laske absoluuttinen virhe ja suhteellinen virhe tiedossa olevaan tarkkaan arvoon \(\ln(3)\approx 1,09861\) nähden.
  2. Tarkastellaan ympyräpohjaista kartiota, jonka pohjaympyrän säde on \(r\) ja jonka korkeus on \(h\). Todista integroimalla, että kartion tilavuus on \(\dfrac{\pi r^2 h}{3}\).
  3. Käyrä \(y=\ln(x)\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([1,e]\). Laske muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus.
    Integraali \(\displaystyle \int_1^e(\ln x)^2\,dx=\int_1^e(\ln x)(\ln x)\,dx \) voidaan laskea osittaisintegroinnilla.
  4. Käyrän \(y=x^3\), \(y\)-akselin ja suoran \(y=1\) rajoittama alue pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus.
  5. Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrä \(y=x+e^x\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([0,2]\).
  6. Tason pisteet \((0,1)\) ja \((4,3)\) yhdistävä jana on suoralla \(y=1+\frac{x}{2}\). Laske janan pituus käyrän pituuden kaavalla \(\displaystyle S=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx, \) missä \(y=f(x)\).
  7. Laske käyrän \(\displaystyle y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x} \) pituus välillä \([1,2]\).
  8. Käyrän \(y=\sin(x)\) pituus välillä \([0,\pi]\) on $$ S=\int_0^\pi\sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx. $$ Laske käyrän pituudelle \(S\) approksimaatio Simpsonin säännöllä käyttämällä kahdeksaa jakoväliä.