Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 7
Taustatietoja
Olkoon \(A:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) funktio. Oletetaan, että \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön
\begin{equation}
\label{eq1}
f''+Af=0\tag{1}
\end{equation}
reaalilukujen joukossa \(\mathbb{R}\) (eli \(f''(x)+A(x)f(x)=0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\)). Määritellään funktio \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) kaavalla
$$
g(x)=\int_0^x(x-t)f''(t)\,dt.
$$
Huomaa, että funktio \(g\) voidaan kirjoittaa muodossa
$$
g(x)=x\int_0^xf''(t)\,dt-\int_0^x tf''(t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R},
$$
mitä on huomattavasti helpompi derivoida.
Tehtävät
-
Osoita, että
$$
g'(x)=\int_0^xf''(t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R},
$$
ja \(g''(x)=f''(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\).
-
Sovella Tehtävää 1 ja päättele
$$
f'(x)=g'(x)+C_1.
$$
Selvitä vakion \(C_1\) arvo sijoittamalla \(x=0\).
-
Sovella Tehtävää 2 ja päättele
$$
f(x)=g(x)+C_1x+C_2.
$$
Selvitä vakion \(C_2\) arvo sijoittamalla \(x=0\).
-
Sovella Tehtävää sekä differentiaaliyhtälöä \eqref{eq1}, ja johda differentiaaliyhtälön \eqref{eq1} ratkaisujen esityskaava
$$
f(x)=f(0)+f'(0)-\int_0^xf(t)A(t)(x-t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R}.
$$
-
Sovella Tehtävää sekä osittaisintegrointia apufunktioilla
$$
u(t)=x-t,\quad v(t)=\int_0^tf(s)A(s)\,ds,
$$
ja johda differentiaaliyhtälö ratkaisujen esityskaava
$$
f(x)=f(0)+f'(0)x-\int_0^x\bigg(\int_0^t f(s)A(s)\,ds\bigg)\,dt,\quad
x\in\mathbb{R}.
$$