Laskuharjoitus

Ohessa eräs matematiikan laskuharjoitusten tehtävänanto.


Integraalilaskenta (4 op)
Syksy 2019
Harjoitus 7

Taustatietoja

Olkoon \(A:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) funktio. Oletetaan, että \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön \begin{equation} \label{eq1} f''+Af=0\tag{1} \end{equation} reaalilukujen joukossa \(\mathbb{R}\) (eli \(f''(x)+A(x)f(x)=0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\)). Määritellään funktio \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) kaavalla $$ g(x)=\int_0^x(x-t)f''(t)\,dt. $$ Huomaa, että funktio \(g\) voidaan kirjoittaa muodossa $$ g(x)=x\int_0^xf''(t)\,dt-\int_0^x tf''(t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R}, $$ mitä on huomattavasti helpompi derivoida.

Tehtävät
  1. Osoita, että $$ g'(x)=\int_0^xf''(t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R}, $$ ja \(g''(x)=f''(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\).
  2. Sovella Tehtävää 1 ja päättele $$ f'(x)=g'(x)+C_1. $$ Selvitä vakion \(C_1\) arvo sijoittamalla \(x=0\).
  3. Sovella Tehtävää 2 ja päättele $$ f(x)=g(x)+C_1x+C_2. $$ Selvitä vakion \(C_2\) arvo sijoittamalla \(x=0\).
  4. Sovella Tehtävää  sekä differentiaaliyhtälöä \eqref{eq1}, ja johda differentiaaliyhtälön \eqref{eq1} ratkaisujen esityskaava $$ f(x)=f(0)+f'(0)-\int_0^xf(t)A(t)(x-t)\,dt,\quad x\in\mathbb{R}. $$
  5. Sovella Tehtävää  sekä osittaisintegrointia apufunktioilla $$ u(t)=x-t,\quad v(t)=\int_0^tf(s)A(s)\,ds, $$ ja johda differentiaaliyhtälö  ratkaisujen esityskaava $$ f(x)=f(0)+f'(0)x-\int_0^x\bigg(\int_0^t f(s)A(s)\,ds\bigg)\,dt,\quad x\in\mathbb{R}. $$