\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{polynom}
\makeatletter
\def\pld@CF@loop#1+{%
    \ifx\relax#1\else
        \begingroup
          \pld@AccuSetX11%
          \def\pld@frac{{}{}}\let\pld@symbols\@empty\let\pld@vars\@empty
          \pld@false
          #1%
          \let\pld@temp\@empty
          \pld@AccuIfOne{}{\pld@AccuGet\pld@temp
                            \edef\pld@temp{\noexpand\pld@R\pld@temp}}%
           \pld@if \pld@Extend\pld@temp{\expandafter\pld@F\pld@frac}\fi
           \expandafter\pld@CF@loop@\pld@symbols\relax\@empty
           \expandafter\pld@CF@loop@\pld@vars\relax\@empty
           \ifx\@empty\pld@temp
               \def\pld@temp{\pld@R11}%
           \fi
          \global\let\@gtempa\pld@temp
        \endgroup
        \ifx\@empty\@gtempa\else
            \pld@ExtendPoly\pld@tempoly\@gtempa
        \fi
        \expandafter\pld@CF@loop
    \fi}
\def\pld@CMAddToTempoly{%
    \pld@AccuGet\pld@temp\edef\pld@temp{\noexpand\pld@R\pld@temp}%
    \pld@CondenseMonomials\pld@false\pld@symbols
    \ifx\pld@symbols\@empty \else
        \pld@ExtendPoly\pld@temp\pld@symbols
    \fi
    \ifx\pld@temp\@empty \else
        \pld@if
            \expandafter\pld@IfSum\expandafter{\pld@temp}%
                {\expandafter\def\expandafter\pld@temp\expandafter
                    {\expandafter\pld@F\expandafter{\pld@temp}{}}}%
                {}%
        \fi
        \pld@ExtendPoly\pld@tempoly\pld@temp
        \pld@Extend\pld@tempoly{\pld@monom}%
    \fi}
\makeatother
\begin{document}

\noindent\textbf{Esimerkki.}
Halutaan tarkastella raja-arvoa
$$
\lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x-3}=\lim_{x\to 1}\frac{p(x)}{q(x)}.
$$
Huomataan, että $p(1)=1^2-3\cdot 1+2=0$ ja $q(1)=1^2+2\cdot 1-3=0$. Siis raja-arvo on ``tyyppiä $0/0$''. Siis välttämättä $p(x)$ ja $q(x)$ ovat jaollisia tekijällä $x-1$. Tehdään jakaminen jakokulmassa:

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\polylongdiv{x^2-3x+2}{x-1}\\[3mm]
Siis
$p(x)=(x-1)(x-2)$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\polylongdiv{x^2+2x-3}{x-1}\\[3mm]
Siis
$q(x)=(x-1)(x+3)$.
\end{minipage}

Siis
$$
\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}\to \frac{-1}{4},
$$
kun $x\to 1$. Siis tarkasteltava raja-arvo on olemassa ja on $-1/4$.

\vspace{5mm}
\noindent\textbf{Esimerkki.} Halutaan laskea integraali
$$
\int \frac{x^3+4x+2}{x^2+2x-3}dx.
$$
Koska osoittaja on korkeampaa astetta, voidaan jakaa jakokulmassa:\\
\polylongdiv{x^3+4x+2}{x^2+2x-3}\\

Siis osamäärä on $x-2$ ja jakojäännös on $11x-4$. Saadaan
$$
\frac{x^3+4x+2}{x^2+2x-3}
=x-2+\frac{11x-4}{x^2+2x-3}.
$$
Rationaalifunktion
$$
\frac{11x-4}{x^2+2x-3}
$$
nimittäjän nollakohdiksi saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla $x=1$ ja $x=-3$. Siis voidaan tehdä osamurtokehitelmä
$$
\frac{11x-4}{x^2+2x-3}
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}.
$$
Kertomalla puolittain polynomilla $(x-1)(x+3)$ saadaan
$$
11x-4=A(x+3)+B(x-1).
$$
Tämän tulisi siis päteä kaikilla reaaliluvuilla $x$. Asetetaan $x=1$, jolloin saadaan
$$
7=4A,\quad A=\frac{7}{4}.
$$
Toisaalta, asettamalla $x=-3$, saadaan
$$
-37=-4B,\quad B=\frac{37}{4}.
$$
Siis
\begin{equation*}
\begin{split}
\int \frac{x^3+4x+2}{x^2+2x-3}
&=x^2-2x+\frac{7}{4}\int\frac{1}{x-1}dx+\frac{37}{4}\int\frac{1}{x+3}dx\\
&=x^2-2x+\frac{7}{4}\ln|x-1|
+\frac{37}{4}\ln|x+3|+C
\end{split}
\end{equation*}

\end{document}