// 	5 Integrointi
// 	
// 	5.0 Johdanto
// 	5.0.1 Antiderivaatta
// 	5.0.2 Integroimiskaavat saadaan derivoimiskaavoista
// 	5.0.3 Differentiaaliyhtälö
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.0 Johdanto

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::käänteisoperaatio
::integrointi on derivoinnin{
	=[html]käänteisoperaatio
	~[html]käännösoperaatio
	~[html]käänteistöoperaatio
	~[html]käyskentelyoperaatio
}

// question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä
::integroimisvakio
::Funktiolla \(\sin(x)\) on monta integraalifunktiota.{T}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::integroimisvakio
::Kaavassa \(\int\cos(x)dx=\sin(x)+C\), luku \(C\) on{
	=[html]integroimisvakio
	~[html]integroimiskerroin
	~[html]integroimisparametri
	~[html]integroimismuuttuja
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::integroimisvakio
::Funktion \(\sin(x)\) eri integraalifunktiot eroavat toisistaan{
	=[html]additiivisella vakiolla
	~[html]multiplikatiivisella vakiolla
	~[html]kasvunopeudeltaan
	~[html]taajuudeltaan
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::osaatko integroida
::Yhdistä funktio ja sen integraalifunktio. {
   =[html]sini -> -kosini
   =[html]vakio  -> nolla
   =[html]kosini  -> sini
   =[html]tangentti  -> luonnollinen logaritmi kosinista
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::differentiaaliyhtälö
::Yhtälö $$y''+x^2y'+y=\sin(x)$$ on{
	=[html]differentiaaliyhtälö
	~[html]osittaisdifferentiaaliyhtälö
	~[html]integraaliyhtälö
	~[html]algebrallinen yhtälö
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::algebrallinen yhtälö
::Yhtälö $$y^2+2y+7=\sin(x)$$ on{
	=[html]algebrallinen yhtälö
	~[html]osittaisdifferentiaaliyhtälö
	~[html]differentiaaliyhtälö
	~[html]integraaliyhtälö
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::integraaliyhtälö
::Yhtälö $$\int_0^x y(t)dt+x^2y=\sin(x)$$ on{
	=[html]integraaliyhtälö
	~[html]osittaisdifferentiaaliyhtälö
	~[html]differentiaaliyhtälö
	~[html]algebrallinen yhtälö
}



// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::osittaisdifferentiaaliyhtälö
::Yhtälö $$u_x +u_y=0$$ on{
	=[html]osittaisdifferentiaaliyhtälö
	~[html]differentiaaliyhtälö
	~[html]integraaliyhtälö
	~[html]algebrallinen yhtälö
}


// 	5.1 Summat ja sigma-merkintä
// 	5.1.1 Summat ja sigma-merkintä
// 	5.1.2 Summat ja sigma-merkintä, jatkuu
// 	5.1.3 Summien ominaisuuksia
// 	5.1.4 Summakaavoja
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.1 Summat ja sigma-merkintä

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::sigma
::Kirjain \(\Sigma\) on{
	=[html]iso sigma
	~[html]pieni sigma
	~[html]stigma
	~[html]kiasma
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::lineaarisuus
::Ominaisuutta \(\sum_{k=1}^9(f(k)+g(k))=\sum_{k=1}^9f(k)+\sum_{k=1}^9g(k)\) kutsutaan nimellä{
	=[html]lineaarisuus
	~[html]jaollisuus
	~[html]parillisuus
	~[html]osittelulaki
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::aritmeettinen summa
::Summa \(1+4+7+10+13\) on{
	=[html]aritmeettinen
	~[html]geometrinen
	~[html]vakioterminen
	~[html]aritmeellinen
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::geometrinen summa
::Summa \(1+3+9+27\) on{
	=[html]geometrinen
	~[html]aritmeettinen
	~[html]vakioterminen
	~[html]geosentrinen
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::vakioterminen
::Mitä kaikkea summa \(2+2+2+2\) on? {
   ~%25%vakioterminen #on vakioterminen, sillä kaikki summattavat ovat samoja
   ~%25%aritmeettinen #on aritmeettinen, sillä summattavat ovat muotoa \(2+0\cdot n\), siis lisättävä vakio on \(0\)
   ~%25%geometrinen #on geometrinen, sillä summattavat ovat muotoa \(2\cdot 1^n\), siis suhdeluku on \(1\)
   ~%25%äärellinen #on äärellinen, sillä summattavia on vain neljä kappaletta
}

// 	5.2 Pinta-alat summien raja-arvona
// 	5.2.1 Pinta-ala-ongelma
// 	5.2.2 Pinta-ala-ongelman ratkaisu
// 	5.2.3 Tasavälinen jako
// 	5.2.4 Summan raja-arvon laskeminen
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.2 Pinta-alat summien raja-arvona

// 	5.3 Määrätty integraali
// 	5.3.1 Määrätty integraali
// 	5.3.2 Jaot ja Riemannin summat
// 	5.3.3 Määrätty integraali
// 	5.3.4 Yleiset Riemannin summat
// 	5.3.5 Yleiset Riemannin summat, esimerkkejä
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.3 Määrätty integraali

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::määrätty vai määräämätön
::Integraali \(\int_1^2x^2dx\) on{
	=[html]määrätty
	~[html]määräämätön
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::määrätty vai määräämätön2
::Integraali \(\int x^2dx\) on{
	=[html]määräämätön
	~[html]määrätty
}

// question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä
::määrätty vai määräämätön3
::Kun integraali \(\int x^2dx\) on laskettu, pitää lopulliseen vastaukseen lisätä integroimisvakio \(C\).{T}

// question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä
::määrätty vai määräämätön3
::Kun integraali \(\int_1^2x^2dx\) on laskettu, pitää lopulliseen vastaukseen lisätä integroimisvakio \(C\).{F}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::tasavälinen jako
::Välin \([0,4]\) jako \(x_0=0<x_1=1<x_2=2<x_3=3<x_4=4\) on{
	=[html]tasavälinen
	~[html]tasa-askelinen
	~[html]tasapuolinen
	~[html]tasapainoinen
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::hienompi jako
::Jako \(0<1<2<3<4\) on jakoa \(0<2<4\) {
   ~%50%hienompi
   ~%50%tiheämpi
   ~%-100%karkeampi
   ~%-100%harvempi
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::hienompi jako
::Jako \(0<2<4\) on jakoa \(0<1<2<3<4\) {
   ~%50%karkeampi
   ~%50%harvempi
   ~%-100%hienompi
   ~%-100%tiheämpi
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-nimityksiä1
::Lausekkeessa \(\int f(x)dx=F(x)+C\) funktio \(f\) on {
	=[html]integrandi
	~[html]integraalifunktio
	~[html]integrointi
	~[html]integraali
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-nimityksiä2
::Lausekkeessa \(\int f(x)dx=F(x)+C\) funktio \(F\) on {
	=[html]integraalifunktio
	~[html]integrandi
	~[html]integrointi
	~[html]integraali
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-nimityksiä3
::Lausekkeessa \(\int f(x)dx=F(x)+C\) merkki \( \int \) on {
	=[html]integraalimerkki
	~[html]integrandimerkki
	~[html]integrointimerkki
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-nimityksiä4
::Lausekkeessa \(\int f(x)dx=F(x)+C\) merkintä \( dx \) on {
	=[html]differentiaali
	~[html]derivaatta
	~[html]indeksi
	~[html]differentiointi
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-nimityksiä5
::Lausekkeessa \(\int f(x)dx=F(x)+C\) luku \( C \) on {
	=[html]integroimisvakio
	~[html]integrandivakio
	~[html]differentiaalivakio
	~[html]differentiointivakio
}

// 	5.4 Määrätyn integraalin ominaisuuksia
// 	5.4.1 Integrointirajat ja lineaarisuus
// 	5.4.2 Arvioita sekä parillinen ja pariton funktio
// 	5.4.3 Integraalilaskennan väliarvolause
// 	5.4.4 Integraalilaskennan väliarvolause, todistus
// 	5.4.5 Paloittain jatkuvat funktiot
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.4 Määrätyn integraalin ominaisuuksia

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat1
::Kaava \(\int_a^a f(x)dx=0\) pätee aina,  aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%25%parillinen
   ~%25%pariton
   ~%25%kasvava
   ~%25%vähenevä
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat2
::Kaava \(\int_a^b f(x)dx=-\int_b^af(x)dx\) pätee aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%25%parillinen
   ~%25%pariton
   ~%25%kasvava
   ~%25%vähenevä
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat3
::Kaava \(\int_a^b f(x)dx+\int_b^c=\int_a^cf(x)dx\) pätee aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%25%parillinen
   ~%25%pariton
   ~%25%kasvava
   ~%25%vähenevä
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat4
::Kaava \(\int_a^b f(x)dx+\int_b^c=\int_a^cf(x)dx\) pätee aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%25%parillinen
   ~%25%pariton
   ~%25%kasvava
   ~%25%vähenevä
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat5
::Kaava \(\int_{-a}^{a} f(x)dx=0\) pätee aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%100%pariton
   ~%-100%parillinen
   ~%-100%kasvava
   ~%-100%vähenevä
}

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-rajat6
::Kaava \(\int_{-a}^{a} f(x)dx=2\int_0^af(x)dx\) pätee aina, kun funktio \(f\) on{
   ~%100%parillinen
   ~%-100%pariton
   ~%-100%kasvava
   ~%-100%vähenevä
}

// 	5.5 Analyysin peruslause
// 	5.5.1 Analyysin peruslause
// 	5.5.2 Analyysin peruslause, todistus
// 	5.5.3 Merkintöjä
// 	5.5.4 Analyysin peruslause, esimerkkejä
// 	5.5.5 Analyysin peruslause, esimerkkejä2
// 	5.5.6 Analyysin peruslause, esimerkkejä3
// 	5.5.7 Leibnitzin integraalisääntö
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.5 Analyysin peruslause

// question: 1030148  name: integrointi ja derivointi
::int-väliarvolause
::Yhtäsuuruus \(\int_a^b f(x)dx=c(b-a)\) pätee jollakin \(c\in[a,b]\) aina, kun funktio \(f\) on {
   ~%50%jatkuva #jos \(f\) on jatkuva, niin väite pätee
   ~%50%vakio #jos \(f\) on vakio, niin \(f\) on myös derivoituva
   ~%-100%kasvava #Vastaesimerkki: \(a=10\), \(b=12\), \(f(x)=1\), kun \(x\in[10,11]\), ja \(f(x)=2\), kun \(x\in(11,12]\). Nyt \(\int_a^b f(x)dx/(b-a)=3/2\neq c\) kaikilla \(c\in[10,12]\).
   ~%-100%positiivinen #Vastaesimerkki: \(a=10\), \(b=12\), \(f(x)=1\), kun \(x\in[10,11]\), ja \(f(x)=2\), kun \(x\in(11,12]\). Nyt \(\int_a^b f(x)dx/(b-a)=3/2\neq c\) kaikilla \(c\in[10,12]\).
}

// 	5.6 Integrointi sijoittamalla
// 	5.6.1 Transkendenttisijoitukset
// 	5.6.2 Integrointi sijoittamalla
// 	5.6.3 Kaavojen johtamista
// 	5.6.4 Määrätyt integraalit
// 	5.6.5 Sinien ja kosinien tulot
// 	5.6.6. Sinien ja kosinien tulot
// 	
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.6 Integrointi sijoittamalla

// 	5.7 Tasoalueen pinta-ala
// 	5.7.1 Tasoalueen pinta-ala
// 
// question: 0  name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys
$CATEGORY: $course$/top/5 integrointi/5.7 Tasoalueen pinta-ala