// 6 Integrointitektiikoita // 6.1 Osittaisintegrointi // 6.1.1 Osittaisintegrointi // 6.1.2 Osittaisintegrointi, esimerkkejä // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.1 Osittaisintegrointi // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osittaisintegrointi1 ::Osittaisintegrointi johdettiin tuloksesta{ =[html]tulon derivointi ~[html]osamäärän derivointikaava ~[html]sisäfunktion derivointikaava } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osittaisintegrointi2 ::Käytettäessä osittaisintegrointia integraaliin \(\int x^4e^xdx\) kannattaa termi \(x^4\){ =[html]derivoida ~[html]integroida ~[html]jakaa kahteen osaan \(x^2\cdot x^2\) } // 6.2 Rationaalifunktion integroiminen // 6.2.1 Integroinnin vaiheet // 6.2.2 Jakoyhtälö, arkustangentti // 6.2.3 Jakokulma, osamurto // 6.2.4 Osamurto, useampikertainen // 6.2.5 Ekstra, neliöksi täydentäminen // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.2 Rationaalifunktion integroiminen // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osamurtokehitelmä1 ::Halutaan jakaa \(\frac{1}{x^2(x-1)}\) osamurtoihin. Paras yrite on muotoa{ =[html] \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}\) ~[html] \(\frac{A}{x(x-1)}+\frac{B}{x^2}\) } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osamurtokehitelmä2 ::Halutaan jakaa \(\frac{x}{x^2(x-1)}\) osamurtoihin. Paras yrite on muotoa{ =[html] \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}\) ~[html] \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\) } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osamurtokehitelmä3 ::Halutaan jakaa \(\frac{1}{x^2-1}\) osamurtoihin. Paras yrite on muotoa{ =[html] \(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\) ~[html] \(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2-1}\) } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::osamurtokehitelmä3 ::Halutaan jakaa \(\frac{1}{x^3-x^2}\) osamurtoihin. Paras yrite on muotoa{ =[html] \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}\) ~[html] \(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2-x}+\frac{C}{x^3-x^2}\) } // 6.3 Integrointi sijoituksen avulla // 6.3.1 Yhteenveto transkendenttisijoituksista // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.3 Integrointi sijoituksen avulla // 6.4 Integrointi arvaamalla // 6.4.1 Integrointi arvaamalla, esimerkki // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.4 Integrointi arvaamalla // 6.5 Epäoleelliset integraalit // 6.5.1 Tyyppi I: rajoittamaton väli // 6.5.2 Tyyppi II: rajoittamaton funktio // 6.5.3 Integraalien vertailuperiaate // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.5 Epäoleelliset integraalit // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-äär1 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\) suppenee.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-äär2 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{1}{x^1}dx\) suppenee.{F} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-äär3 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}dx\) suppenee.{F} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-origo1 ::Integraali \(\int_0^1\frac{1}{x^2}dx\) suppenee.{F} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-origo2 ::Integraali \(\int_0^1\frac{1}{x}dx\) suppenee.{F} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-origo3 ::Integraali \(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\) suppenee.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-vertailu1 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{x+1}{x^2}dx\) suppenee.{F} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-vertailu2 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{x+1}{x^3}dx\) suppenee.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-vertailu3 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2\sqrt{x}}dx\) suppenee.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-vertailu4 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{\ln{x}}{x^2}dx\) suppenee.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::sup-vertailu5 ::Integraali \(\int_1^\infty\frac{e^{x}}{x^2}dx\) suppenee.{F} // 6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä // 6.6.1 Yhteenveto // 6.6.2 Vasen ja oikea päätepistemenetelmä // 6.6.3 Puolisuunnikasmenetelmä // 6.6.4 Keskipistemenetelmä // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.6 Puolisuunnikas- ja KPM // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::vasen-pm1 ::Vasen päätepistemenetelmä tuottaa aina liian pienen arvon, jos integroitava funktio on { =[html]vähenevä ~[html]kasvava ~[html]konkaavi ~[html]konveksi } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::vasen-pm2 ::Vasen päätepistemenetelmä tuottaa aina liian suuren arvon, jos integroitava funktio on { =[html]kasvava ~[html]vähenevä ~[html]konkaavi ~[html]konveksi } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::oikea-pm1 ::Oikea päätepistemenetelmä tuottaa aina liian pienen arvon, jos integroitava funktio on { =[html]kasvava ~[html]vähenevä ~[html]konkaavi ~[html]konveksi } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::oikea-pm2 ::Oikea päätepistemenetelmä tuottaa aina liian suuren arvon, jos integroitava funktio on { =[html]vähenevä ~[html]kasvava ~[html]konkaavi ~[html]konveksi } // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::keskip-menetelmä1 ::Keskipistemenetelmän tuottaa keskiarvon vasemmasta päätepistemenetelmästä ja oikeasta päätepistemenetelmästä.{F} // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::keskip-menetelmä2 ::Keskipistemenetelmä tuottaa aina liian pienen arvon, jos integroitava funktio on { =[html]konveksi ~[html]konkaavi ~[html]kasvava ~[html]vähenevä } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::keskip-menetelmä3 ::Keskipistemenetelmä tuottaa aina liian suuren arvon, jos integroitava funktio on { =[html]konkaavi ~[html]konveksi ~[html]kasvava ~[html]vähenevä } // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::puolis-menetelmä1 ::Puolisuunnikasmenetelmä tuottaa keskiarvon vasemmasta päätepistemenetelmästä ja oikeasta päätepistemenetelmästä.{T} // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::puolis-menetelmä2 ::Puolisuunnikasmenetelmä tuottaa aina liian pienen arvon, jos integroitava funktio on { =[html]konkaavi ~[html]konveksi ~[html]kasvava ~[html]vähenevä } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::puolis-menetelmä3 ::Puolisuunnikasmenetelmä tuottaa aina liian suuren arvon, jos integroitava funktio on { =[html]konveksi ~[html]konkaavi ~[html]kasvava ~[html]vähenevä } // 6.7 Simpsonin menetelmä // 6.7.1 Simpson, tilastollinen johto // 6.7.2 Simpson, paraabelikonstruktio // 6.7.3 Bhaskaran approksimaatio // // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.7 Simpsonin menetelmä // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::simpson1 ::Simpsonin menetelmä tuottaa tarkan arvon aina, jos integroitava funktio on { ~%25%vakio ~%25%ensimmäisen asteen polynomi ~%-100%ympyrän kaari ~%-100%eksponenttifunktio } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::simpson2 ::Simpsonin menetelmässä funktion kuvaajaa approksimoidaan { =[html]paraabeleilla ~[html]ympyröillä ~[html]suorakulmioilla ~[html]murtoviivalla } // question: 1030148 name: integrointi ja derivointi ::simpson3 ::Simpsonin menetelmä on nimetty seuraavan matemaatikon mukaan { =[html]Thomas Simpson ~[html]Bartholomew Simpson ~[html]Abraham Simpson ~[html]James Simpson } // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::simpson6 ::Arvioidaan integraalia \(\int_0^1 2-x^2 dx\) puolisuunnikasmenetelmällä. Tällöin saadaan liian pieni arvio.{T} // question: 0 name: väite käyttäen {T} -tyyliä ::simpson7 ::Arvioidaan integraalia \(\int_0^1 2-x^2dx\) Simpsonin menetelmällä. Tällöin saadaan liian pieni arvio.{F} // 6.8 Muita integrointitapoja // 6.8.1 Taylorin kaava // 6.8.2 Rombergin menetelmä // 6.8.4 Monte Carlo -menetelmä // question: 0 name: Switch category to $course$/top/5 integrointi/5.1 kysymys $CATEGORY: $course$/top/6 int-tek/6.8 Muita integrointitapoja