Processing math: 100%

Tehdään osamurtokehitelmä $$\frac{1}{x(1-x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}.$$ Kerrotaan puolittain termillä $x(1-x)$, saadaan $$1=A(1-x)+Bx.$$ Sijoitetaan $x=0$, saadaan $A=1$.
Sijoitetaan $x=1$, saadaan $B=1$. Siis $$\int \frac{1}{x(1-x)}dx=\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{1}{1-x}dx =\ln|x|-\ln|1-x|+C,\quad C\textrm{ vakio}.$$