Tehtävä: Laske integraali $$ \int e^x\sin(x)dx. $$

Yritä ensiksi laskea tehtävä itse. Malliratkaisun saat näkyviin painamalla nappia.
Osittaisintegroimalla saadaan $$ \int e^x\sin(x)dx=e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx. $$ Ei luovuteta vielä! Osittaisintegroimalla saadaan $$ \int e^x\cos(x)dx=e^x\cos(x)-\int e^x(-\sin(x))dx =e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx. $$ Siis, kun tämä sijoitetaan aiemmin saatuun yhtälöön, saadaan $$ \int e^x\sin(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x)dx $$ eli $$ \int e^x\sin(x)dx=\frac{1}{2}\bigg(e^x\sin(x)-e^x\cos(x)\bigg)+C,\quad C\textrm{ vakio}. $$ Vastaus voidaan tarkastaa derivoimalla.