UEF, integraalilaskenta

Tehtävä(lasku2): Kiekko

$D((a,b),r)$ määräytyy keskipisteestään

$(a,b)\in\mathbb{R}^2$ ja säteestään

$r$

$D((a,b),r)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, (x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2\}.$ Systeemin muodostavat kaksi yhtä paksua kiekkoa

$D((0,1),2),\quad D((8,0),3).$ Missä on systeemin massakeskipiste?

Kiekon massa on verrannollinen kiekon tilavuuteen. Koska kiekot ovat yhtä paksuja, niiden tilavuudet ovat verrannollisia niiden pinta-aloihin - siten verrannollisia niiden säteiden neliöihin. Olkoon ensimmäisen kiekon massa

$m_1=2^2=4$ . Tällöin toisen kiekon massa on

$m_2=3^3=9$ .

Kunkin kiekon massakeskipiste on kiekon keskipisteessä. Massakeskipisteet ovat suoralla $y=0$ . Massakeskipisteen $x$ -koordinaatti saadaan painotettuna keskiarvona yksittäisten kiekkojen massakeskipisteiden $x$ -koordinaateista: $\bar{x}=\frac{4\cdot 1+9\cdot 8}{4+9}=\frac{76}{13}\approx 5,84.$

Massakeskipiste on pisteessä \((0,5,84))\. Tämä on järkevää. Massakeskipiste on kiekkojen keskipisteiden välisellä janalla ja lähempänä suuremman kiekon keskipistettä.