UEF, integraalilaskenta

Processing math: 100%

Tehtävä(lasku2): Käyrä $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=\sin(x),\quad 0\leq x\leq \pi,\quad z=0\}$ pyörähtää $x$ -akselin $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=z=0\}$ ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y^2+z^2=\sin(x)^2,\quad 0\leq x\leq \pi\}.$ Laske pinnan sisään jäävä tilavuus kaavalla $V=\pi\int_a^bf(x)^2dx.$

Yritä ensiksi laskea tehtävä itse. Malliratkaisun saat näkyviin painamalla nappia.

Nyt käyrä on

$y=f(x)=\sin(x)$ välillä

$[0,\pi]$ . Siis

$V=\pi\int_0^\pi\sin^2(x)dx.$ Tulee muokata funktiota

$\sin^2(x)$ , jotta se osattaisiin integroida. Muistetaan kaavat

$\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x)),\quad \sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos(2x)).$ Sijoittamalla jälkimmäinen kaava integraaliin saadaan

$V=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi dx-\frac{\pi}{2}\int_0^\pi -\cos(2x)dx =\ldots =\frac{\pi^2}{2}\approx 4.93.$

Saatiin tilavuudeksi $V=\frac{\pi^2}{2}\approx 4.93.$