Tehtävä(lasku2): Käyrä $$ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=\sin(x),\quad 0\leq x\leq \pi,\quad z=0\} $$ pyörähtää \(x\)-akselin $$ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=z=0\} $$ ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta $$ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y^2+z^2=\sin(x)^2,\quad 0\leq x\leq \pi\}. $$ Laske pinnan sisään jäävä tilavuus kaavalla $$ V=\pi\int_a^bf(x)^2dx. $$

Yritä ensiksi laskea tehtävä itse. Malliratkaisun saat näkyviin painamalla nappia.
Nyt käyrä on \(y=f(x)=\sin(x)\) välillä \([0,\pi]\). Siis $$ V=\pi\int_0^\pi\sin^2(x)dx. $$ Tulee muokata funktiota \(\sin^2(x)\), jotta se osattaisiin integroida. Muistetaan kaavat $$ \cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x)),\quad \sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos(2x)). $$ Sijoittamalla jälkimmäinen kaava integraaliin saadaan $$ V=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi dx-\frac{\pi}{2}\int_0^\pi -\cos(2x)dx =\ldots =\frac{\pi^2}{2}\approx 4.93. $$

Saatiin tilavuudeksi $$ V=\frac{\pi^2}{2}\approx 4.93. $$