UEF, integraalilaskenta

Processing math: 100%

Tehtävä(lasku2): Suorakulmio $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, 0\leq y\leq 1,\quad 0\leq x\leq \pi,\quad z=0\}$ pyörähtää $x$ -akselin $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=z=0\}$ ympäri, jolloin syntyy sylinteri $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y^2+z^2\leq 1,\quad 0\leq x\leq \pi\}.$ Laske sylinterin tilavuus geometrisesti tai kaavalla $V=\pi\int_a^bf(x)^2dx.$

Yritä ensiksi laskea tehtävä itse. Malliratkaisun saat näkyviin painamalla nappia.

Sylinterin pohjan säde on

$1$ , joten pohjan ala on

$\pi\cdot 1^2=\pi$ . Sylinterin korkeus on

$\pi$ . Siis sylinterin tilavuus on

$V=Ah=\pi\cdot\pi=\pi^2\approx 9.87.$

Integrointikaava antaa saman vastauksen $V=\pi\int_0^\pi 1^2 dx=\pi\int_0^\pi dx=\pi^2.$