Tehtävä(lasku2): Murtoviiva $$ y=f(x)=\begin{cases}\frac{2x}{\pi},\quad 0\leq x\leq \pi/2\\ 2-\frac{2x}{\pi},\quad \pi/2\leq x\leq \pi \end{cases} $$ pyörähtää \(x\)-akselin $$ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y=z=0\} $$ ympäri, jolloin syntyy pyörähdyskappale $$ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\, y^2+z^2\leq f(x)^2,\quad 0\leq x\leq \pi\}. $$ Laske pyörähdyskappaleen tilavuus geometrisesti tai kaavalla $$ V=\pi\int_a^bf(x)^2dx. $$

Yritä ensiksi laskea tehtävä itse. Malliratkaisun saat näkyviin painamalla nappia.
Nyt \(f(0)=0\), \(f(\pi/2)=1\), \(f(\pi)=0\). Pyörähdyskappale koostuu kahdesta kartiosta, joiden pohjat ovat vastakkain tasossa \(x=\pi/2\) ja joiden kärjet ovat pisteissä \((0,0,0)\) ja \((\pi,0,0)\).

Kartioiden yhteistilavuudeksi saadaan $$ V=2\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \pi =\frac{\pi^3}{3}\approx 3.29. $$

Integrointikaavan perusteella saadaan $$ V=\pi\int_0^\pi f(x)^2dx =\pi\int_0^{\pi/2}(2x/\pi)^2dx +\pi\int_{\pi/2}^{\pi}(2-2x/\pi)^2dx. $$ Osoittautuu, että syntyneet kaksi integraalia ovat yhtä suuret, joten $$ V=2\pi\int_0^{\pi/2}(2x/\pi)^2dx =2\pi\cdot\frac{4}{\pi^2}\int_0^{\pi/2}x^2dx. $$ Tässä $$ \int_0^{\pi/2}x^2dx=\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{x=0}^\pi =\frac{(\pi/2)^3}{3}=\frac{\pi^3}{24}. $$ Siis $$ V=2\pi\cdot\frac{4}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{24} =\frac{\pi^2}{3}. $$ Integrointikaava antaa siis saman vastauksen. Tilavuuden laskeminen geometrisesti oli helpompaa.