Esimerkki. Olkoon \(f(x)=x+1\) välillä \([0,2]\). Siis \(a=0\) ja \(b=2\). Tehdään tasavälinen jako, jolloin \(\Delta x=\frac{2}{n}\). Siis
$$
x_0=0,\quad x_1=\frac{2}{n},\quad x_2=\frac{4}{n}\quad,\ldots\quad,x_n=\frac{2n}{n}=2
$$
eli
$$
x_i=\frac{2i}{n}.
$$
Tällöin
\begin{equation*}
\begin{split}
S_n&=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)
=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n\bigg(\frac{2i}{n}+1\bigg)
\stackrel{LIN}{=}\frac{2}{n}\bigg(\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=1}^n 1\bigg)\\
&=\frac{2}{n}\bigg(\frac{2}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\bigg)
=\frac{2(2n+1)}{n}
=4+\frac{2}{n}\to 4,
\end{split}
\end{equation*}
kun \(n\to\infty\). Tarvittiin summan lineaarisuutta ja aritmeettisen summan kaavaa.
Videolla tarkastellaan funktiota \(f(x)=x^2\) välillä \([0,b]\) ja funktiota \(f(x)=e^x\) välillä \([0,b]\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.