Processing math: 100%

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.4 Yleinen Riemannin summa

Jos

$f$ on jatkuva välillä

$[a,b]$ , niin

$f$ on integroituva välillä

$[a,b]$ . Käyrän

$y=f(x)$ ja

$x$ -akselin väliin jäävä pinta-ala välillä

$[a,b]$ saadaan määrättynä integraalina

$\int_a^b f(x)dx.$ Tämä määrätty integraali määriteltiin ala- ja yläsummien avulla. Esimerkiksi alasumma

$L(f,P)$ "koostuu suorakulmioista, joiden toinen pää on

$x$ -akselilla ja toinen pää on käyrän

$y=f(x)$ alapuolella koskettaen sitä". Suorakulmiot voidaan asettaa hieman eri tavoilla ja silti jaon tihentyessä niiden pinta-ala lähestyy haluttua pinta-alaa.

Yleisesti: Välillä $[a,b]$ määritellyn funktion $f$ jakoon $P\{a=x_0,x_1,\ldots,x_n=b\}$ liittyvä Riemannin summa on $R_n=\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i,$ missä $c_i\in [x_{i-1},x_i]$ on valittu jollakin perusteella. Voidaan osoittaa, että mielivaltaisilla $c_i$ $R_n\to \int_a^b f(x)dx,$ kun $n\to\infty$ ja $||P||\to 0$ , kun $f$ on integroituva. Tässä pisteet $c_i$ ovat tägejä''.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.