Määritelmä. Välillä \(I\) määritellyn funktion \(f\)
antiderivaatta eli
integraalifunktio on funktio \(F\), jolle \(F'(x)=f(x)\) kaikilla \(x\in I\).
Esimerkki. \( F(x)= \frac{1}{3\cos(3x)} \) on funktion \(f(x)=\sin(3x)\) antiderivaatta, sillä
$$
F'(x)=-\frac{1}{3}(-\sin(3x)\cdot 3)
=\sin(3x)=f(x)
$$
Huom. Jos \(F\) ja \(G\) ovat \(f:\)n antiderivaattoja, niin
$$
\frac{d}{dx}(G(x)-F(x))=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,
$$
joten \(G(x)-F(x)=C\), jollekin vakiolle \(C\). Siis \(G(x)=F(x)+C\)
Määritelmä. Funktion \(f\)
määräämätön integraali välillä \(I\) on
$$
\int f(x)dx=F(x)+C,
$$
missä \(F'(x)=f(x)\) ja \(C\) on
integroimisvakio.
Esimerkki. Edelläolevan nojalla
$$
\int \sin(3x)=-\frac{1}{3}\cos(3x)+C.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.