5. Integrointi

5.5 Analyysin peruslause

5.5.X1 Extra


Kysymys. Jos on annettuna funktio \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\), niin milloin se on jonkin toisen funktion derivaatta? Milloin löytyy \(F\), jolle $$ f=F' $$ Miten tämä toinen funktio löydetään? Analyysin peruslauseen mukaan, jos \(f\) on jatkuva, niin $$ F(x)=\int_a^xf(t)dt $$ toteuttaa $$ F'(x)=f(x) $$ kaikilla \(x\in[a,b]\).


Analogia fysiikan kurssilta. Jos \(V\subset\mathbb{R}^3\) on rajoitettu alue, ja on annettuna vektorikenttä \(F:V\to\mathbb{R}^3\), niin milloin \(F\) saadaan derivoimalla jostain toisesta funktiosta? Vektorianalyysin peruslauseen mukaan, jos \(F\) on "sileä", niin löydetään \(\Phi\) ja \(A\) siten, että $$ F=-\nabla\Phi+\nabla\times A. $$ Tässä
\(\bullet\) \(\Phi\) on pyörteetön osa, eli sen pyörteisyys \(\nabla\times\Phi=0\)
\(\bullet\) \(A\) on lähteetön osa, eli sen lähteisyys \(\nabla\cdot A=0\). Esimerkiksi, jos \(F\) on gravitaatiokenttä, niin \(\Phi=0\) eli "ei ole pyörteitä". Jos \(F\) on kestomagneetin tuottama magneettikenttä, niin \(A=0\) eli "ei ole lähteitä" eli magneettikentän kenttäviivat muodostavat suljettuja silmukoita.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.