5. Integrointi
5.5 Analyysin peruslause
5.5.5 Analyysin peruslause, esimerkkejä
Huom. Analyysin peruslauseen mukaan
$$
\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x).
$$
Esimerkki. Alarajalla ei ole merkitystä, esim
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{d}{dx}\int_0^x\cos(t)dt
&=\frac{d}{dx}\bigg|_0^x\sin(t)
=\frac{d}{dx}\bigg(\sin(x)-\sin(\pi/2)\bigg)\\
&=\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)
\end{split}
\end{equation*}
Samoin
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{d}{dx}\int_{\pi/2}^x\cos(t)dt
&=\frac{d}{dx}\bigg|_{\pi/2}^x\sin(t)
=\frac{d}{dx}\bigg(\sin(x)-\sin(0)\bigg)\\
&=\frac{d}{dx}\sin(x)-\frac{d}{dx}1=\cos(x), \end{split}
\end{equation*}
eli saatiin sama tulos, vaikka oli eri alaraja.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.