%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% ---- ASETUKSET---- %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\noindent
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Logo_UEF}
\hfill
\begin{tabular}{@{}l@{}}
  Integraalilaskenta, verkkomateriaali\\
  Matematiikan perusopinnot\\[0.85cm]
\end{tabular}

\vspace*{-0.5cm}
\noindent\hrulefill
\vspace*{2cm}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% ---- OTSIKKO ---- %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\noindent
\textsc{\Large 5. Integrointi}\\[0.2cm]%
\textsc{\large 5.3 Määrätty integraali}\\[0.2cm]%%
\textbf{\large 5.3.1 Jaot ja Riemannin summat}\\[0.2cm]%%%
\bigskip\bigskip



 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% ---- TEKSTI ---- %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Olkoon $f$ jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Jaetaan väli $[a,b]$ yhteensä $n$:ään osaväliin jakopisteillä
$$
a=x_0< x_1 < x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.
$$

Joukko $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on \emph{jako} eli \emph{ositus}. Jaon \emph{normi} on
$$
||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}
$$
Koska $f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, on olemassa kohdat $l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että
$$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$$

Olkoon $A_i$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[x_{i-1},x_i]$. Saadaan
$$
f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n.
$$
Siis käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala $A$ välillä $[a,b]$ toteuttaa
$$
\sum_{i=1}^n
f(l_i)\Delta x_i
\leq A
\leq
\sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i.
$$

\noindent\textbf{Määritelmä.} Funktioon $f$ ja jakoon $P$ liittyvät

\noindent$\bullet$ \emph{Riemannin alasumma}
$$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$$

\noindent$\bullet$ \emph{Riemannin yläsumma}
$$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% ---- VIITTEET ---- %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{calculus} 
R.~A.~Adams and C.~Essex,
\emph{Calculus: a~complete course}, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 302--303.
\end{thebibliography}
\end{document}