%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% ---- ASETUKSET---- %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[12pt,a4paper]{amsart} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[finnish]{babel} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \begin{document} \noindent \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Logo_UEF} \hfill \begin{tabular}{@{}l@{}} Integraalilaskenta, verkkomateriaali\\ Matematiikan perusopinnot\\[0.85cm] \end{tabular} \vspace*{-0.5cm} \noindent\hrulefill \vspace*{2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% ---- OTSIKKO ---- %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent \textsc{\Large 5. Integrointi}\\[0.2cm]% \textsc{\large 5.3 Määrätty integraali}\\[0.2cm]%% \textbf{\large 5.3.1 Jaot ja Riemannin summat}\\[0.2cm]%%% \bigskip\bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% ---- TEKSTI ---- %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Olkoon $f$ jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Jaetaan väli $[a,b]$ yhteensä $n$:ään osaväliin jakopisteillä $$ a=x_0< x_1 < x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b. $$ Joukko $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on \emph{jako} eli \emph{ositus}. Jaon \emph{normi} on $$ ||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1} $$ Koska $f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, on olemassa kohdat $l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että $$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$$ Olkoon $A_i$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[x_{i-1},x_i]$. Saadaan $$ f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n. $$ Siis käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala $A$ välillä $[a,b]$ toteuttaa $$ \sum_{i=1}^n f(l_i)\Delta x_i \leq A \leq \sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i. $$ \noindent\textbf{Määritelmä.} Funktioon $f$ ja jakoon $P$ liittyvät \noindent$\bullet$ \emph{Riemannin alasumma} $$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$$ \noindent$\bullet$ \emph{Riemannin yläsumma} $$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% ---- VIITTEET ---- %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bigskip \begin{thebibliography}{9} \bibitem{calculus} R.~A.~Adams and C.~Essex, \emph{Calculus: a~complete course}, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 302--303. \end{thebibliography} \end{document}