5. Integrointi
5.3 Määrätty integraali
Jaot ja Riemannin summat
Olkoon $f$ jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Jaetaan väli $[a,b]$ yhteensä $n$:ään osaväliin jakopisteillä
$$
a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b.
$$
Joukko $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on
jako eli
ositus. Jaon
normi on
$$
||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}
$$
Koska $f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, on olemassa kohdat $l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että
$$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$$
Olkoon $A_i$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[x_{i-1},x_i]$. Saadaan
$$
f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n.
$$
Siis käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala $A$ välillä $[a,b]$ toteuttaa
$$
\sum_{i=1}^n
f(l_i)\Delta x_i
\leq A
\leq
\sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i.
$$
Määritelmä. Funktioon $f$ ja jakoon $P$ liittyvät
•
Riemannin alasumma
$$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$$
•
Riemannin yläsumma
$$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.