5. Integrointi
5.3 Määrätty integraali
Määrätty integraali
Määritelmä. Jos $P_1$ ja $P_2$ ovat välin $[a,b]$ jakoja siten, että $P_1\subset P_2$, niin jaossa $P_2$ on enemmän jakopisteitä kuin jaossa $P_1$. Sanotaan, että $P_2$ on
hienompi (tai
tiheämpi) kuin $P_1$.
Huom. Jos $P_1\subset P_2$, niin
$$
L(f,P_1)\leq L(f,P_2)\leq U(f,P_2)\leq U(f,P_1).
$$
Yleisesti: Jos $P$ ja $P'$ ovat mitkä hyvänsä kaksi välin $[a,b]$ jakoa, niin
$$
L(f,P)\leq U(f,P').
$$
On siis olemassa
ainakin yksi sellainen luku $I$, että
$$
L(f,P)\leq I\leq U(f,P).
$$
Määritelmä: Jos on olemassa
täsmälleen yksi luku $I$ siten, että
$$
L(f,P)\leq I \leq U(f,P)
$$
kaikilla välin $[a,b]$ jaoilla $P$, niin\\
• $f$ on (Riemann)
integroituva välillä $[a,b]$\\
• Luku $I$ on funktion $f$
määrätty integraali välillä $[a,b]$.\\
Merkitään
$$
I=\int_a^b f(x)dx.
$$
Voidaan todistaa:
Lause. Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin $f$ on integroituva välillä $[a,b]$.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.