Processing math: 14%

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.1 Jaot ja Riemannin summat

Olkoon $f$ jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Jaetaan väli $[a,b]$ yhteensä $n$:ään osaväliin jakopisteillä a=x0<x1<x2<<xn1<xn=b. Joukko $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on jako eli ositus. Jaon normi on ||P||=max Koska $f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, on olemassa kohdat $l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i). Olkoon $A_i$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[x_{i-1},x_i]$. Saadaan f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n. Siis käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala $A$ välillä $[a,b]$ toteuttaa \sum_{i=1}^n f(l_i)\Delta x_i \leq A \leq \sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i.
Määritelmä. Funktioon $f$ ja jakoon $P$ liittyvät
Riemannin alasumma L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i
Riemannin yläsumma U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.