5. Integrointi

5.2 Pinta-alat summien raja-arvona

5.2.4 Summan raja-arvon laskeminen

Siis pinta-ala saadaan summien raja-arvona. Joskus voidaan ajatella myös toisin päin.


Esimerkki. Määritä \(\lim_{n\to\infty}S_n\), missä $$ S_n=\sum_{i=1}^n\bigg(1-\frac{i}{n}\bigg)\frac{1}{n}. $$
Ratk. Tulkitaan \(S_n\) suorakulmioiden pinta-alojen summana, missä kanta on \(1/n\) ja korkeus \(1-i/n\). Suorakulmioita on yhteensä \(n\) kappaletta, joten koko alueen kanta on \(n\cdot (1/n)=1\). Korkeus \(1-i/n\) tulee funktiosta \(y=1-x\), jos \(x=i/n\). Siis \(\lim_{n\to\infty}S_n\) on koordinaattiakselien ja suoran \(y=1-x\) rajoittaman kolmion pinta-ala välillä \([0,1]\). Saadaan $$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.