Processing math: 22%

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

Olkoon

$f$ jatkuva suljetulla välillä

$[a,b]$ . Jaetaan väli

$[a,b]$ yhteensä

$n$ :ään osaväliin jakopisteillä

$a=x_0\lt x_1 \lt x_2\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b.$ Joukko

$P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on jako eli ositus. Jaon normi on

$||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ Koska

$f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä

$[x_{i-1},x_i]$ , on olemassa kohdat

$l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että

$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$ Olkoon

$A_i$ käyrän

$y=f(x)$ ja

$x$ -akselin väliin jäävä pinta-ala välillä

$[x_{i-1},x_i]$ . Saadaan

$f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n.$ Siis käyrän

$y=f(x)$ ja

$x$ -akselin väliin jäävä pinta-ala

$A$ välillä

$[a,b]$ toteuttaa

$\sum_{i=1}^n f(l_i)\Delta x_i \leq A \leq \sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i.$
Määritelmä. Funktioon

$f$ ja jakoon

$P$ liittyvät

$\bullet$ Riemannin alasumma

$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$

$\bullet$ Riemannin yläsumma

$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.