Processing math: 100%

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.2 Määrätty integraali

Määritelmä. Jos

$P_1$ ja

$P_2$ ovat välin

$[a,b]$ jakoja siten, että

$P_1\subset P_2$ , niin jaossa

$P_2$ on enemmän jakopisteitä kuin jaossa

$P_1$ . Sanotaan, että

$P_2$ on hienompi (tai tiheämpi) kuin

$P_1$ .

Huom. Jos $P_1\subset P_2$ , niin $L(f,P_1)\leq L(f,P_2)\leq U(f,P_2)\leq U(f,P_1).$
Yleisesti: Jos $P$ ja $P'$ ovat mitkä hyvänsä kaksi välin $[a,b]$ jakoa, niin $L(f,P)\leq U(f,P').$ On siis olemassa ainakin yksi sellainen luku $I$ , että $L(f,P)\leq I\leq U(f,P).$
Määritelmä: Jos on olemassa täsmälleen yksi luku $I$ siten, että $L(f,P)\leq I \leq U(f,P)$ kaikilla välin $[a,b]$ jaoilla $P$ , niin
$\bullet$ $f$ on (Riemann) integroituva välillä $[a,b]$
$\bullet$ Luku $I$ on funktion $f$ määrätty integraali välillä $[a,b]$ .
Merkitään $I=\int_a^b f(x)dx.$ Voidaan todistaa:

Lause. Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$ , niin $f$ on integroituva välillä $[a,b]$ .

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.