Processing math: 100%

5. Integrointi

5.5 Analyysin peruslause

5.5.5 Analyysin peruslause, esimerkkejä

Huom. Analyysin peruslauseen mukaan

$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x).$
Esimerkki. Alarajalla ei ole merkitystä, esim

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}\int_0^x\cos(t)dt &=\frac{d}{dx}\bigg|_0^x\sin(t) =\frac{d}{dx}\bigg(\sin(x)-\sin(\pi/2)\bigg)\\ &=\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) \end{split} \end{equation*}$ Samoin

$\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}\int_{\pi/2}^x\cos(t)dt &=\frac{d}{dx}\bigg|_{\pi/2}^x\sin(t) =\frac{d}{dx}\bigg(\sin(x)-\sin(0)\bigg)\\ &=\frac{d}{dx}\sin(x)-\frac{d}{dx}1=\cos(x), \end{split} \end{equation*}$ eli saatiin sama tulos, vaikka oli eri alaraja.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.