5. Integrointi

5.0 Johdanto

5.0.1 Antiderivaatta

Määritelmä. Välillä $I$ määritellyn funktion $f$ antiderivaatta eli integraalifunktio on funktio $F$, jolle $F'(x)=f(x)$ kaikilla $x\in I$.

Esimerkki. $F(x)= \frac{1}{3\cos(3x)}$ on funktion $f(x)=\sin(3x)$ antiderivaatta, sillä $$F'(x)=-\frac{1}{3}(-\sin(3x)\cdot 3) =\sin(3x)=f(x)$$
Huom. Jos $F$ ja $G$ ovat $f:$n antiderivaattoja, niin $$\frac{d}{dx}(G(x)-F(x))=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,$$ joten $G(x)-F(x)=C$, jollekin vakiolle $C$. Siis $G(x)=F(x)+C$

Määritelmä. Funktion $f$ määräämätön integraali välillä $I$ on $$\int f(x)dx=F(x)+C,$$ missä $F'(x)=f(x)$ ja $C$ on integroimisvakio.

Esimerkki. Edelläolevan nojalla $$\int \sin(3x)=-\frac{1}{3}\cos(3x)+C.$$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.