Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex ja logo

5. Integrointi

5.0 Johdanto

5.0.3 Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälö (DY) on yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Tuntematonta funktiota merkitään yleensä $y$:llä ja ajatellaan se muuttujan $x$ funktioksi.

Esimerkki. DY:n $xy'-2y=0$ eräs ratkaisu on $y=x^2$, sillä $y'=2x$, joten $$ xy'-2y=x\cdot 2x-2x^2=0. $$

Huom. Yleisesti DY:n ratkaiseminen sisältää integrointia ja integroimisvakion kautta ratkaisuja on usein äärettömän monta. Yksikäsitteiseen ratkaisuun päästään vaatimalla ns. alkuarvoehdot. Alkuarvo-ongelmalla tarkoitetaan DY:ä yhdistettynä alkuarvoehtoihin.

Esimerkki. Ratkaise alkuarvo-ongelma \begin{eqnarray} y''&=\sin(x)\\ y(\pi)&=2\\ y'(\pi)&=-1 \end{eqnarray} Katso ratkaisu videolta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.