5. Integrointi

5.0 Johdanto

5.0.3 Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälö (DY) on yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Tuntematonta funktiota merkitään yleensä \(y\):llä ja ajatellaan se muuttujan \(x\) funktioksi.


Esimerkki. DY:n \(xy'-2y=0\) eräs ratkaisu on \(y=x^2\), sillä \(y'=2x\), joten $$ xy'-2y=x\cdot 2x-2x^2=0. $$


Huom. Yleisesti DY:n ratkaiseminen sisältää integrointia ja integroimisvakion kautta ratkaisuja on usein äärettömän monta. Yksikäsitteiseen ratkaisuun päästään vaatimalla ns. alkuarvoehdot. Alkuarvo-ongelmalla tarkoitetaan DY:ä yhdistettynä alkuarvoehtoihin.


Esimerkki. Ratkaise alkuarvo-ongelma \begin{eqnarray} y''&=\sin(x)\\ y(\pi)&=2\\ y'(\pi)&=-1 \end{eqnarray} Katso ratkaisu videolta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.