<p>Lataa materiaali omalle koneelle: <a href="asdf">pdf</a>
<br> Tarvittavat tiedostot: <a href="asdf">tex</a>
ja <a href="https://digicampus.fi/draftfile.php/20576/user/draft/491808062/Logo_UEF.pdf">logo</a></p>










 

<h1> 5. Integrointi</h1>
<h2> 5.2 Pinta-alat summien raja-arvona</h2>
<h3> 5.2.4 Summan raja-arvon laskeminen</h3>




 

Siis pinta-ala saadaan summien raja-arvona. Joskus voidaan ajatella myös toisin päin.


<p><br><b> Esimerkki.</b> Määritä \(\lim_{n\to\infty}S_n\), missä
$$
S_n=\sum_{i=1}^n\bigg(1-\frac{i}{n}\bigg)\frac{1}{n}.
$$


<br><b> Ratk.</b> Tulkitaan \(S_n\) suorakulmioiden pinta-alojen summana, missä 
kanta on \(1/n\) ja korkeus \(1-i/n\).

Suorakulmioita on yhteensä \(n\) kappaletta, joten koko alueen kanta on \(n\cdot (1/n)=1\). Korkeus \(1-i/n\) tulee funktiosta \(y=1-x\), jos \(x=i/n\).

Siis \(\lim_{n\to\infty}S_n\) on koordinaattiakselien ja suoran \(y=1-x\) rajoittaman kolmion pinta-ala välillä \([0,1]\). Saadaan
$$
\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.
$$



<p>VIITTEET</p>					
<p>[1] R. A. Adams and C. Essex, <em>Calculus: a complete course</em>, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.</p>