Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex ja logo

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.1 Jaot ja Riemannin summat

Olkoon $f$ jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Jaetaan väli $[a,b]$ yhteensä $n$:ään osaväliin jakopisteillä $$ a=x_0\lt x_1 \lt x_2\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b. $$ Joukko $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on jako eli ositus. Jaon normi on $$ ||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1} $$ Koska $f$ saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, on olemassa kohdat $l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]$ siten, että $$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$$ Olkoon $A_i$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[x_{i-1},x_i]$. Saadaan $$ f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n. $$ Siis käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala $A$ välillä $[a,b]$ toteuttaa $$ \sum_{i=1}^n f(l_i)\Delta x_i \leq A \leq \sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i. $$
Määritelmä. Funktioon $f$ ja jakoon $P$ liittyvät
$\bullet$ Riemannin alasumma $$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$$
$\bullet$ Riemannin yläsumma $$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.