Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex ja logo

5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.2 Määrätty integraali

Määritelmä. Jos $P_1$ ja $P_2$ ovat välin $[a,b]$ jakoja siten, että $P_1\subset P_2$, niin jaossa $P_2$ on enemmän jakopisteitä kuin jaossa $P_1$. Sanotaan, että $P_2$ on hienompi (tai tiheämpi) kuin $P_1$.

Huom. Jos $P_1\subset P_2$, niin $$ L(f,P_1)\leq L(f,P_2)\leq U(f,P_2)\leq U(f,P_1). $$
Yleisesti: Jos $P$ ja $P'$ ovat mitkä hyvänsä kaksi välin $[a,b]$ jakoa, niin $$ L(f,P)\leq U(f,P'). $$ On siis olemassa ainakin yksi sellainen luku $I$, että $$ L(f,P)\leq I\leq U(f,P). $$
Määritelmä: Jos on olemassa täsmälleen yksi luku $I$ siten, että $$ L(f,P)\leq I \leq U(f,P) $$ kaikilla välin $[a,b]$ jaoilla $P$, niin
$\bullet$ $f$ on (Riemann) integroituva välillä $[a,b]$
$\bullet$ Luku $I$ on funktion $f$ määrätty integraali välillä $[a,b]$.
Merkitään $$ I=\int_a^b f(x)dx. $$ Voidaan todistaa:

Lause. Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin $f$ on integroituva välillä $[a,b]$.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.