Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex
ja logo
5. Integrointi
5.3 Määrätty integraali
5.3.5 Yleinen Riemannin summa, esimerkkejä
Pisteet \(c_i\in [x_{i-1},x_i]\) eli
tägit voidaan siis valita miten tahansa ja silti joka tapauksessa
$$
R_n=\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i\to \int_a^b f(x)dx,
$$
kun \(n\to\infty\) ja \(||P||\to 0\), kun \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\).
Valinnoilla \(c_i=x_{i-1}\) ja \(c_i=x_i\), saadaan vasen ja oikea päätepistemenetelmä
$$
\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i,
\quad\textrm{ja}\quad
\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i.
$$
Jos valitaan \(c_i=(x_{i-1}+x_i)/2\), niin saadaan keskipistemenetelmä (\(M\) niinkuin ``mean'')
$$
M_n(f)=\sum_{i=1}^nf\bigg(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\bigg).
$$
Numeerisissa menetelmissä eri menetelmiä yhdistetään vielä keskenään. Nimittäin, jos päätepistemenetelmien antamista tuloksista otetaan keskiarvo, saadaan puolisuunnikasmenetelmä (\(T\) niinkuin trapezoidi):
$$
T_n(f)=
\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i
+\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\bigg)
=\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}
\Delta x_i.
$$
Edelleen, jos keskipistemenetelmästä ja puolisuunnikasmenetelmästä otetaan painotettu keskiarvo, saadaan Simpsonin menetelmä:
$$
S_n=\frac{2T_n+M_n}{3}.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.