<p>Lataa materiaali omalle koneelle: <a href="asdf">pdf</a>
<br> Tarvittavat tiedostot: <a href="asdf">tex</a>
ja <a href="https://digicampus.fi/draftfile.php/20576/user/draft/491808062/Logo_UEF.pdf">logo</a></p>










 

<h1> 5. Integrointi</h1>
<h2> 5.4 Määrätyn integraalin  ominaisuuksia</h2>
<h3> 5.4.4 Integraalilaskennan väliarvolause, todistus</h3>

 

<br><b> Lause. (Integraalilaskennan väliarvolause)</b> Jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että
$$
\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(c).
$$


<br><b> Todistus.</b> Suljetulla välillä jatkuva funktio saa \(SA\):n ja \(PA\):n, joten on olemassa kohdat \(l,u\in[a,b]\) siten, että
$$
f(l)\leq f(x)\leq f(u)
$$
kaikilla \(x\in [a,b]\). Merkitään \(m=f(l)\) ja \(M=f(u)\). Olkoon \(P=\{x_0=a,x_1=b\}\) välin \([a,b]\) jako yhteen osaväliin. Tällöin
$$
L(f,P)\leq\int_a^bf(x)dx\leq U(f,P).
$$
Siis
$$
m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a).
$$
Jaetaan \(b-a\):lla, jolloin saadaan
$$
m\leq \underbrace{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx}_{\textrm{luku}}\leq M.
$$
Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että
$$
f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx
$$
eli
$$
(b-a)f(c)=\int_a^b f(x)dx.
$$
\(\Box\)





<p>VIITTEET</p>					
<p>[1] R. A. Adams and C. Essex, <em>Calculus: a complete course</em>, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.</p>