<p>Lataa materiaali omalle koneelle: <a href="asdf">pdf</a> <br> Tarvittavat tiedostot: <a href="asdf">tex</a> ja <a href="https://digicampus.fi/draftfile.php/20576/user/draft/491808062/Logo_UEF.pdf">logo</a></p> <h1> 5. Integrointi</h1> <h2> 5.4 Määrätyn integraalin ominaisuuksia</h2> <h3> 5.4.4 Integraalilaskennan väliarvolause, todistus</h3> <br><b> Lause. (Integraalilaskennan väliarvolause)</b> Jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että $$ \int_a^bf(x)dx=(b-a)f(c). $$ <br><b> Todistus.</b> Suljetulla välillä jatkuva funktio saa \(SA\):n ja \(PA\):n, joten on olemassa kohdat \(l,u\in[a,b]\) siten, että $$ f(l)\leq f(x)\leq f(u) $$ kaikilla \(x\in [a,b]\). Merkitään \(m=f(l)\) ja \(M=f(u)\). Olkoon \(P=\{x_0=a,x_1=b\}\) välin \([a,b]\) jako yhteen osaväliin. Tällöin $$ L(f,P)\leq\int_a^bf(x)dx\leq U(f,P). $$ Siis $$ m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a). $$ Jaetaan \(b-a\):lla, jolloin saadaan $$ m\leq \underbrace{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx}_{\textrm{luku}}\leq M. $$ Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että $$ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx $$ eli $$ (b-a)f(c)=\int_a^b f(x)dx. $$ \(\Box\) <p>VIITTEET</p> <p>[1] R. A. Adams and C. Essex, <em>Calculus: a complete course</em>, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.</p>