Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex ja logo

5. Integrointi

5.4 Määrätyn integraalin ominaisuuksia

5.4.4 Integraalilaskennan väliarvolause, todistus

Lause. (Integraalilaskennan väliarvolause) Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin on olemassa sellainen kohta $c\in[a,b]$, että $$ \int_a^bf(x)dx=(b-a)f(c). $$
Todistus. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa $SA$:n ja $PA$:n, joten on olemassa kohdat $l,u\in[a,b]$ siten, että $$ f(l)\leq f(x)\leq f(u) $$ kaikilla $x\in [a,b]$. Merkitään $m=f(l)$ ja $M=f(u)$. Olkoon $P=\{x_0=a,x_1=b\}$ välin $[a,b]$ jako yhteen osaväliin. Tällöin $$ L(f,P)\leq\int_a^bf(x)dx\leq U(f,P). $$ Siis $$ m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a). $$ Jaetaan $b-a$:lla, jolloin saadaan $$ m\leq \underbrace{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx}_{\textrm{luku}}\leq M. $$ Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen kohta $c\in[a,b]$, että $$ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx $$ eli $$ (b-a)f(c)=\int_a^b f(x)dx. $$ $\Box$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.