5. Integrointi

5.5 Analyysin peruslause

5.5.X1 Extra

Kysymys. Jos on annettuna funktio $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, niin milloin se on jonkin toisen funktion derivaatta? Milloin löytyy $F$, jolle $$ f=F' $$ Miten tämä toinen funktio löydetään? Analyysin peruslauseen mukaan, jos $f$ on jatkuva, niin $$ F(x)=\int_a^xf(t)dt $$ toteuttaa $$ F'(x)=f(x) $$ kaikilla $x\in[a,b]$.

Analogia fysiikan kurssilta. Jos $V\subset\mathbb{R}^3$ on rajoitettu alue, ja on annettuna vektorikenttä $F:V\to\mathbb{R}^3$, niin milloin $F$ saadaan derivoimalla jostain toisesta funktiosta? Vektorianalyysin peruslauseen mukaan, jos $F$ on "sileä", niin löydetään $\Phi$ ja $A$ siten, että $$ F=-\nabla\Phi+\nabla\times A. $$ Tässä
$\bullet$ $\Phi$ on pyörteetön osa, eli sen pyörteisyys $\nabla\times\Phi=0$
$\bullet$ $A$ on lähteetön osa, eli sen lähteisyys $\nabla\cdot A=0$. Esimerkiksi, jos $F$ on gravitaatiokenttä, niin $\Phi=0$ eli "ei ole pyörteitä". Jos $F$ on kestomagneetin tuottama magneettikenttä, niin $A=0$ eli "ei ole lähteitä" eli magneettikentän kenttäviivat muodostavat suljettuja silmukoita.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.