Lataa materiaali omalle koneelle: pdf
Tarvittavat tiedostot: tex ja logo

  

1. Raja-arvot ja jatkuvuus

1.2 Funktion raja-arvo

Olkoon \(a\in\mathbb{R}\), ja \(f\) pisteen \(a\) avoimessa ympäristössä määritelty reaalifunktio. Jos funktion \(f\) vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä \(a\), \begin{equation*} \lim_{x\to a^-} f(x), \end{equation*} ja funktion \(f\) oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä \(a\), \begin{equation*} \lim_{x\to a^+} f(x), \end{equation*} ovat olemassa ja ne ovat yhtäsuuria, niin funktiolla \(f\) on raja-arvo pisteessä \(a\). Tällöin \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x). \end{equation*}

Raja-arvon laskusääntöjä:

Jos \(\lim_{x\to a} f(x) =L\), \(\lim_{x\to a} g(x) =K\) ja \(k\in\mathbb{R}\), niin

1. \(\lim_{x\to a} \big( f(x)+g(x) \big) = L+K\);
2. \(\lim_{x\to a} \big( f(x)-g(x) \big) = L-K\);
3. \(\lim_{x\to a} f(x) g(x) = L K\);
4. \(\lim_{x\to a} k f(x) = k L\).

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.