vaiheittainen tehtävä

Tehtävä. Todista raja-arvon määritelmän avulla, että $$ \lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2=a $$ jollakin $a\in\mathbb{R}$.

Usein laskutehtävät ja todistukset ovat monivaiheisia: täytyy osata tehdä jotain, ennen kuin pääsee ratkaisussa eteenpäin. Tämä sivu

antaa palautetta ratkaisun eri vaiheissa (ja siten kannustaa/pyytää laskemaan virheellisen kohdan uudestaan);
antaa mahdollisuuden ohittaa kohdat, joihin muuten jäisi jumiin;
jakaa pitkän tehtävän palasiin, jolloin vireystila pysyy yllä.

Sivulla on tietty rakenne, jossa on erilaisia nappuloita:

Tekstiosa. Kuvailee mitä ollaan tekemässä.

kysymys

Sisältää kysymyksen.

Näyttää vastauksen sekä "Etene" ja "Miksi?" -nappulat.

Näyttää seuraavan vaiheen kuvauksen ja kysymyksen.

Näyttää annetun vastauksen perustelun.

Todistus. Olkoon $\varepsilon>0$ mielivaltainen.

Aluksi täytyy löytää ehdokas raja-arvoksi, eli luku $a$.

Mikä on sopiva luku $a$?

$a=1$.

Koetetaan päätellä. Kun $n\in\mathbb{N}$ on suuri, niin $$ \bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2 ==\bigg(\frac{n(1-1/n)}{n(1+1/n)}\bigg)^2 =\bigg(\frac{1-1/n}{1+1/n}\bigg)^2 \approx\bigg(\frac{1-0}{1+0}\bigg)^2 =1. $$

Kokeillaan laskimella. Esimerkiksi, kun $n=100$, niin laskimen mukaan $$ \bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2=\frac{99^2}{101^2}\approx 0.960788. $$ Kun $n=1000$, niin laskimen mukaan $$ \bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2=\frac{999^2}{1001^2}\approx 0.996008. $$ Jonon luvut näyttäisivät lähestyvän lukua $1$.

Halutaan tarkastella lauseketta $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg| $$ ja halutaan arvioida $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg| \leq\ldots\lt\varepsilon\quad \Leftrightarrow\quad n\geq N_\varepsilon. $$

Mitä haluaisit tehdä seuraavaksi?

Saadaan laskettua $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1^2\bigg| =\bigg|\frac{n-1}{n+1}-1\bigg| \bigg|\frac{n-1}{n+1}+1\bigg| $$

Kyseessä oli suora lasku, jossa käytettiin neliöiden erotuksen kaavaa $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Tarjoutuu mahdollisuus arvioida $$ \bigg|\underbrace{\frac{n-1}{n+1}}_{\leq M}+1\bigg| \leq M+1. $$

Millainen luku $M$ olisi sopiva?

Voidaan valita $M=1$ ja saadaan $$ \bigg|\frac{n-1}{n+1}+1\bigg|\leq 2=:M. $$ Siis $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg| =\bigg|\frac{n-1}{n+1}-1\bigg| \bigg|\frac{n-1}{n+1}+1\bigg| \leq 2 \bigg|\frac{n-1}{n+1}-1\bigg| $$

Koska $n-1\leq n+1$, niin saadaan $$ \frac{n-1}{n+1}+1\leq\frac{n+1}{n+1}+1=1+1=2. $$

Nyt on pakko laskea $$ \frac{n-1}{n+1}-1=\frac{n-1-(n+1)}{n+1}=\frac{-2}{n+1}. $$ Siis $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg| \leq 2\bigg|\frac{n-1}{n+1}-1\bigg| =2\bigg|\frac{-2}{n+1}\bigg| =\frac{4}{n+1}. $$ Nyt halutaan ottaa mukaan luku $\varepsilon$ ja päätellä, että $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg| \leq \frac{4}{n+1}\lt\varepsilon, $$ kunhan vain $n\geq N_\varepsilon$.

Kuinka luku $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ voidaan valita?

Valitaan $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ siten, että $$ N_\varepsilon>\frac{4}{\varepsilon}-1. $$ Jokin suurempi $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ sopisi myös.

Päätellään $$ \frac{4}{n+1}\lt\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad\frac{4}{\varepsilon}-1\lt n. $$ Siis luvun $n$ on oltava vähintään $$ n\gt\frac{4}{\varepsilon}-1. $$ Halutaan $$ n\geq N_\varepsilon\gt \frac{4}{\varepsilon}-1. $$ Siksi tehdään mainittu valinta.

Nyt ehdosta $n\geq N_\varepsilon$ seuraa $$ \bigg|\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2-1\bigg|\lt\varepsilon. $$ Tässä luku $\varepsilon>0$ oli mielivaltainen. Raja-arvon määritelmän nojalla $$ \lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{n-1}{n+1}\bigg)^2=1. $$ Todistus on valmis. $\square$

Vaiheittainen epsilon-delta-todistus